弯曲度的计算

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1、第二十章弯曲的强度计算第一节概述如图20-1所示的车轴，图20-2所示的桥式吊车梁，以及桥梁中的主梁，房屋建筑中的梁等。受力后这些直杆的轴线将由原来的直线弯成曲线，这种变形称为弯曲。以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。alaP/2P/221ddb(a)PPYAqP/2YBP/2AB(b)图20-1图20-2一般说来，当杆件受到垂直于杆轴的外力，或在通过杆轴的平面内受到外力偶作用时，杆将发生弯曲变形。我们先来研究比较简单的情况，即梁的横截面具有对称轴[图20-3（a）]，全梁有对称面，并且所有外力都作用在对称面内的情形。在这种情形下梁的轴线弯成位于对称

2、平面内的一条平面曲线[图20-3（b）]，这种弯曲属于平面弯曲。本章就是讨论平面弯曲时横截面上的内力、应力和变形问题。68(a)yPqm对称面x(b)YmAYB图20-3第二节静定梁的基本形式梁是一种常用的构件，几乎在各类工程结构中都占有重要地位。本章只讨论以下几种最基本的梁。一、简支梁图20-4（a）所示为某型内燃机凸轮轴的结构示意图，挺杆作用于轴的力P垂直于轴线，在P力作用下，凸轮轴将产生弯曲变形。一般情况下，凸轮轴两端滑动轴承可近似简化为铰支座，而右支座只限制轴在垂直方向的位移，则简化为活动铰支座。通常轴本身用轴线表示。其计算简图如图20-

3、4（b）所示。这种一端为固定铰支座、另一端为活动铰支座的梁，称为简支梁。二、悬臂梁图20-5（a）所示摇臂钻床的悬臂，一端套在立柱上，另一端自由。空车时悬臂除受自重外，还有立轴箱的重力作用而产生弯曲。由于立柱的刚性较大，且悬臂套在立柱上也有一定的长度，使悬臂左端可简化为固定端，这样就得到如图20-5（b）所示的计算简图。这种一端固定，另一端为自由的梁，称为悬臂梁。三、外伸梁某机械主传动箱内的传动轴，其外伸端装有锥形齿轮[图20-6（a）]，作用于齿轮的69悬臂P(a)P主轴箱挺杆凸轮主杆(a)凸轮轴PqP(b)(b)图20-4图20-5力除轴向力

4、Pa外，还有径向力Pr和圆周力P（图中Pr和P未画出），如果单独研究Pa对轴的作用，可将Pa平移至轴上，则可简化为一沿轴线作用的Pa和一力矩Mo=Par，轴向力Pa使轴产生压缩变形（这里暂不考虑），而力偶Mo将使轴产生弯曲变形。因为力Pa向左，轴必向左移动。现假定右轴承限制轴在水平和垂直两方向的位移，故可简化为固定铰支座。此时左轴承仅限制轴在垂直方向的移动，则简化为活动铰支座。于是得到如图20-6（b）所示的计算简图。这种由一个固定铰支座和一个活动铰支座支承，而且有一端（或两端）伸出支座以外的梁，称为外伸梁。rPaPaM0=Par图20-6上述简

5、支梁、悬臂梁和外伸梁，都可以用平面力系的三个平衡方程来求出其三个未知反力，因此，又统称为静定梁。有时为了工程上的需要，为一个梁设置较多的支座，因而使梁的支反力数目多于独立的平衡方程数目，这时只用平衡方程就不能确定支反力。这种梁称为超静定梁。本章将仅限于研究静定梁。70梁上的载荷有集中力、集中力偶和分布载荷（分布力）。分布载荷即为作用线垂直于梁轴线的线分布力，常以载荷集度q表示。其常用单位为N/m或kN/m。第三节平面弯曲时梁横截面上的内力一、内力为了计算梁的应力和变形，首先应该确定梁在外力作用下任一横截面上的内力。这个问题可以利用截面法解决。如图

6、20-7（a）所示的简支梁，承受集中力P1、P2、P3作用。先利用平衡方程求出其支座反力YA、YB。现在用截面法计算距A为x处的横截面C上的内力，将梁在C截面假想截开，分成左右两段，现任选一段，例如左段[图20-7（b）]，研究其平衡。在左段梁上作用着外力YA和P1，在C截面上一定存在着某些内力以维持其平衡。现将左段梁上所有外力向C截面形心O简化，得主矢量Qˊ和主矩Mˊ[图20-7（b）中虚线所示]。由此可知，为了维持AC段梁的平衡，C截面上必然存在着两个内力分量：与主矢量Qˊ平衡的内力Q和与主矩Mˊ平衡的内力偶矩M。称内力Q为剪力，内力偶矩M为

7、弯矩。由左段梁的平衡条件可得X截面的剪力和弯矩，即∑Y=0YA−P1−Q=0Q=YA−P1(a)∑m0=0M+P1()x−a−YAx=0M=YAx−P1()x−a(b)()b式为向C截面形心O取矩。P1Q΄(b)AOMbM΄aP3cQPP2Y2P1AP3(a)ABC(c)MOBxCYAlYBYB图20-7同理，如以右段为研究对象[图20-7（c）]，并根据CB段梁的平衡条件计算C截面的内力，将得到与式（a）、（b）数值相同的剪力和弯矩，但其方向均相反。这一结果是必然的，因为它们是作用力与反作用力的关系。71二、应力剪力和弯矩是由分布在横截面上的应

8、力构成的。虽然我们还不知道应力在横截面上的分布规律，但可将它们分解成正应力σ和剪应力τ。由图20-8（b）可看出，剪力Q是由剪应力τ组成