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《同济第六版《高等数学》教案WORD版-第04章 不定 积分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、高等数学教案第四章不定积分第四章不定积分教学目的：1、理解原函数概念、不定积分的概念。2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法。3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。教学重点：1、不定积分的概念；2、不定积分的性质及基本公式；3、换元积分法与分部积分法。教学难点：1、换元积分法；2、分部积分法；3、三角函数有理式的积分。§4.1不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念定义1如果在区间I上,可导函数F(x)的导函数为f(x),即对任一xÎI,都有F¢(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x)就称为f
2、(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数.例如因为(sinx)¢=cosx,所以sinx是cosx的原函数.又如当xÎ(1,+¥)时,因为,所以是的原函数.提问:cosx和还有其它原函数吗？原函数存在定理如果函数f(x)在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数F(x),使对任一xÎI都有F¢(x)=f(x).简单地说就是:连续函数一定有原函数.两点说明:第一,如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x),那么f(x)就有无限多个原函数,F(x)+C都是f(x)的原函数,其中C是任意常数.第二,f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数,即如果F(x)和F(x)都是f(x)的原函数,则
3、F(x)-F(x)=C(C为某个常数).内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室高等数学教案第四章不定积分定义2在区间I上,函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分,记作.其中记号称为积分号,f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量.根据定义,如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,那么F(x)+C就是f(x)的不定积分,即.因而不定积分可以表示f(x)的任意一个原函数.例1.因为sinx是cosx的原函数,所以.因为是的原函数,所以.例2.求函数的不定积分.解：当x>0时,(lnx)¢,(x>0);当x<
4、0时,[ln(-x)]¢,(x<0).合并上面两式,得到(x¹0).例3设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解设所求的曲线方程为y=f(x),按题设,曲线上任一点(x,y)处的切线斜率为y¢=f¢(x)=2x,,即f(x)是2x的一个原函数.因为,内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室高等数学教案第四章不定积分故必有某个常数C使f(x)=x2+C,即曲线方程为y=x2+C.因所求曲线通过点(1,2),故2=1+C,C=1.于是所求曲线方程为y=x2+1.积分曲线:函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线.从不定积分的定义,
5、即可知下述关系:,或;又由于F(x)是F¢(x)的原函数,所以,或记作.由此可见,微分运算（以记号d表示）与求不定积分的运算（简称积分运算,以记号表示）是互逆的.当记号与d连在一起时,或者抵消,或者抵消后差一个常数.二、基本积分表(1)(k是常数),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9),内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室高等数学教案第四章不定积分(10),(11),(12),(13),(14),(15).例4.例5.例6.三、不定积分的性质性质1函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和,即.这是因为,=f(x)+g(x).性质2求不定积分时,被积函
6、数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即(k是常数,k¹0).例7..例8.内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室高等数学教案第四章不定积分例9.例10.例11.例12.例13=tanx-x+C.例14.例15.内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室高等数学教案第四章不定积分§4.2换元积分法一、第一类换元法设f(u)有原函数F(u),u=j(x),且j(x)可微,那么,根据复合函数微分法,有dF[j(x)]=dF(u)=F¢(u)du=F¢[j(x)]dj(x)=F¢[j(x)]j¢(x)dx,所以F¢[j(x)]j¢(x)dx=F¢[j(x)]dj(x)=F¢(u)d
7、u=dF(u)=dF[j(x)],因此.即=[F(u)+C]u=j(x)=F[j(x)]+C.定理1设f(u)具有原函数,u=j(x)可导,则有换元公式.被积表达式中的dx可当作变量x的微分来对待,从而微分等式j¢(x)dx=du可以应用到被积表达式中.在求积分时,如果函数g(x)可以化为g(x)=f[j(x)]j¢(x)的形式,那么.例1.=sin2x+C.例2..例3..例4..内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室高等数学教案第四章不定积分例5.
