高考专题突破-三角函数与平面向量问题 讲义(含解析)

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1、三角函数与平面向量问题1．(2016·全国甲卷)若将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为(　　)A．x＝－(k∈Z)B．x＝＋(k∈Z)C．x＝－(k∈Z)D．x＝＋(k∈Z)答案　B解析　由题意将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin，由2x＋＝kπ＋(k∈Z)得函数的对称轴为x＝＋(k∈Z)，故选B.2．在△ABC中，AC·cosA＝3BC·cosB，且cosC＝，则A等于(　　)A．30°B．45°C．60°D．120°答案　B解析　由题意及正弦定理得sinBcosA＝3sinAcosB

2、，∴tanB＝3tanA，∴0°＜A<90°，0°

3、　)A．[－，2]B．[，2)C．(，2]D．[，2]答案　B解析　如图，画出y＝sin在[0，π]上的图象，当直线y＝与其有两个交点时，∈，所以m∈[，2)．14/145.若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，

4、φ

5、<)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且·＝0(O为坐标原点)，则A＝________.答案　π解析　由题意知M(，A)，N(，－A)，又∵·＝×－A2＝0，∴A＝π.题型一　三角函数的图象和性质例1　已知函数f(x)＝sin(ωx＋)＋sin(ωx－)－2cos2，x∈R(其中ω>0)．(1)求函数f(x

6、)的值域；(2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离均为，求函数y＝f(x)的单调增区间．解　(1)f(x)＝sinωx＋cosωx＋sinωx－cosωx－(cosωx＋1)＝2(sinωx－cosωx)－1＝2sin(ωx－)－1.14/14由－1≤sin(ωx－)≤1，得－3≤2sin(ωx－)－1≤1，所以函数f(x)的值域为[－3,1]．(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，y＝f(x)的周期为π，所以＝π，即ω＝2.所以f(x)＝2sin(2x－)－1，再由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈

7、Z)．所以函数y＝f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．思维升华　三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sint的图象求解．　已知函数f(x)＝5sinxcosx－5cos2x＋(其中x∈R)，求：(1)函数f(x)的最小正周期；(2)函数f(x)的单调区间；(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心．解　(1)因为f(x)＝sin2x－(1＋cos2x)＋＝5(sin2x－cos2x)＝5sin(2x－)，所以函数的周期T＝＝π.14/14(2)由2kπ

8、－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．(3)由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．由2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，所以函数f(x)的对称中心为(＋，0)(k∈Z)．题型二　解三角形例2　(2016·江苏)在△ABC中，AC＝6，cosB＝，C＝.(1)求AB的长；(2)求cos

9、的值．解　(1)由cosB＝，0

10、＝3，cosA＝，B＝A