同济第五版线性代数分模块复习要点及指导

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1、同济第五版线性代数分模块复习要点及指导第一模块行列式1.排列的逆序数2・行列式按行（列）展开法则3.行列式的性质及行列式的计算第二模块矩阵1.矩阵的运算性质2.矩阵求逆及矩阵方程的求解3・伴随阵的性质、正交阵的性质4.矩阵的秩的性质第三模块线性方程组（合并2,3,4章内容）1.线性方程组的解的判定，带参数的方程组的解的判定2.齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）3・非齐次线性方程组的解的结构（通解）第四部分向量组（矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换合并2,3,4章内容）1・向量组的线性表示2.向量组的线性相关性3・向量组的秩第五部分方阵的特征值、特征向量

2、及二次型1.施密特正交化过程2.特征值、特征向量的性质及计算3・矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化4.二次型矩阵的写法，二次型的秩，如何化成标准二次型要注意的知识点：线性代数1•〃行列式共有，个元素，展开后有沁项，可分解为2”行列式；2.代数余子式的性质：①、令和知的大小无关;②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0;③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为⑷;3.代数余子式和余子式的关系：叫=（-1严令A,=（-iy+>M,4.行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积x（-l）^;③、上

3、、下三角行列式（）:主对角元素的乘积；④、in和I纠：副对角元素的乘积心一1）呼；⑤、拉普拉斯展开式：：討州B

4、、；：=:：=（-1）”"

5、测⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值5.证明

6、A

7、=0的方法：①、A=-A；②、反证法；③、构造齐次方程组心“，证明其有非零解;①、利用秩，证明r(A)

8、4

9、工0(是非奇异矩阵)；or(A)=n(是满秩矩阵)oA的行(列)向量组线性无关；o齐次方程组心"有非零解；oPbwR”,心"总有唯一解；o4与E等价；oA可表示成若干个初等矩阵的乘积；oA的特征值全不为

10、0；o"A是正定矩阵；oA的行(列)向量组是肥的一组基；04是疋中某两组基的过渡矩阵；2.对于〃阶矩阵4:AA'=A^A=AE无条件恒成立；3.(4为・=("尸(A-y=("尸(A丁=(")•(AB)t=BtAt(AB)'=X/f(ARY1=Bl4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5.关于分块矩阵的重要结论，其中均a、〃可逆：②、④、c、-1-A"CB“B,A丿⑤、-1'A-10、9CA'BJ3、矩阵的初等变换与线性方程组1.—个加X畀矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形

11、是唯一确定的：F护；I。。丿,”“等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B,若r(A)=r(B)«AB；2.行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1;③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;1.初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换)①、若(4,E)'(E,X),则A可逆，且；②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，〃就变成,即：(A,〃)：(£,小)；③、求解线形方程组：对于"个未知数〃个方程心"，如果G4")「(E,Q，则A可逆，且x=A]b

12、；2.初等矩阵和对角矩阵的概念:①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②2入.,左乘矩阵A,&乘A的各行元素；右乘，人乘A的各列■元素；11F11)③、对调两行或两列，符号,且，例如：1=1；IJIL④、倍乘某行或某列，符号Edik)),且E(i(k)y}=,例如：k“V'f1k=丄(RhO)，〔JJ/⑤、倍加某行或某列，符号E(ij(k)),且E(ij(k)Yl=E(ij(-k)),如:(k、1-1<1-k、1伙H0)；<1丿<1丿3.矩阵秩的基本性质：①、0

13、③、若AB,则r(A)=r(B)；①、若P、0可逆，贝lJr(A)=r(PA)=r(Ae)=r(PAe)；(可逆矩阵不影响矩阵的秩)②、max(r(A),r(B))r⑷+"B)-〃；1.三种特殊矩阵的方摹：①