高中全程复习方略配套课件小专题复习课 热点总结与强

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1、热点总结与强化训练(一)热点导数的应用1.本热点在高考中的地位导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出.2.本热点在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何相联系.(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.1.导数的几何意义对可导函数y=f(x)

2、来说，f′(x0)表示(f(x)的图像)在x=x0处的切线的斜率.2.利用导数判断函数的单调性在区间(a,b)上f′(x)＞0⇒f(x)在(a,b)上是单调增函数.f′(x)＜0⇒f(x)在(a,b)上是单调减函数.3.可导函数f(x)满足：当x＜x0时，f′(x)＞0，当x＞x0时，f′(x)＜0，则x0是函数f(x)的极大值点，f(x0)是f(x)的一个极大值.4.若f(x)在［a,b］上连续，则可以通过比较f(a)、f(b)及f(x)的各个极值的大小，确定f(x)在［a,b］上的最大(最小)值.平时的备考中要从

3、运算、化简入手，首先解决诸如导数的运算、切线的求法，单调区间、极值及最值的求法等.在此基础上，再结合其他相关知识解决函数的综合问题，对于生活中的优化问题，应从提高建模能力入手，顺利建模是解题的关键，本热点的知识难度较大，备考中应注意循序渐进，切不可急于求成.1.(2011·新课标全国卷)已知函数曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.(1)求a、b的值；(2)如果当x＞0，且x≠1时，f(x)＞求k的取值范围.【解析】(1)由于直线x+2y-3=0的斜率为且过点(1,1)，(2)由(1)知

4、所以考虑函数则(i)若k≤0，由知，当x≠1时，h′(x)＜0，h(x)单调递减.而h(1)=0，故当x∈(0,1)时，h(x)＞0，可得当x∈(1，+∞)时，h(x)<0，可得>0从而当x>0,且x≠1时，(ii)若00,故h′(x)>0,而h(1)=0，故当x∈(1，)时，h(x)>0，可得<0,与题设矛盾.(iii)若k≥1,由于此

5、时x2+1≥2x，(k-1)(x2+1)+2x＞0⇒h′(x)>0,而h(1)=0，故当x∈(1，+∞)时，h(x)>0，可得<0,与题设矛盾.综合得，k的取值范围为(-∞，0］.2.(2011·安徽高考)设其中a为正实数.(1)当a=时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围.【解析】对f(x)求导得，(1)当a=时，令f′(x)=0，则4x2-8x+3=0,解得列表得所以，是极小值点，是极大值点.x(-∞，)()(+∞)f′(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗(2)若f(x)为

6、R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合与条件a＞0，知ax2-2ax+1≥0在R上恒成立，因此Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,由此并结合a＞0，知0＜a≤1.3.(2011·福建高考)已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)=-ax+b+axlnx，f(e)=2(e=2.71828…是自然对数的底数).(1)求实数b的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)当a=1时，是否同时存在实数m和M(m

7、实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由.【解析】(1)由f(e)=2,得b=2.(2)由(1)可得f(x)=-ax+2+axlnx,从而f′(x)=alnx,因为a≠0,故：①当a>0时，由f′(x)>0得x>1；由f′(x)<0得00得01.综上，当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞).当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，+∞)，单调递减区间为(0,1).(3)当a=1时，f(x)=-x+2+x

8、lnx,f′(x)=lnx.由(2)可得，当x在区间[e]内变化时，f′(x),f(x)的变化情况如表：x(1)1(1,e)ef′(x)-0+f(x)2-↘极小值1↗2又2-<2，所以函数f(x)(x∈[e])的值域为[1,2].据此可得，若则对每一个t∈[m,M],直线y=t与曲线y=f(x)(x∈[e])都有公共点；并且对每一个t∈(-