实数的运算性质的证明

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1、实数的运算性质的证明郇中丹2006-2007学年第一学期实数运算性质的证明实数的运算性质加法和乘法的交换律加法和乘法的等价定义加法结合律乘法结合律加法的序性质乘法的序性质加法与乘法的分配律x1/x=1有理数的十进小数表示实数的运算性质加法和乘法满足交换律:a+b=b+a,ab=ba与结合律:a+(b+c)=(a+b)+c,a(bc)=(ab)c乘法与加法之间满足分配律:a(b+c)=ab+ac0是加法零元:a:a+0=a1是乘法单位元:a:a1=a每个数a有负数-a:a+(-a)=0每个非零数a有倒数1/a:a

2、(1/a)=1加法和乘法的交换律加法和乘法的交换律:a+b=b+a,ab=ba证明:这直接由有理数的加法和乘法满足交换律来得到.1.由a,bR,sn(a)+sn(b)=sn(b)+sn(a)就有A={sn(a)+sn(b)

3、nN}={sn(b)+sn(a)

4、nN}=B.所以a+b=supA=supB=b+a类似地，由sn(a)sn(b)=sn(b)sn(a)有A={sn(a)sn(b)

5、nN}={sn(b)sn(a)

6、nN}=B.所以ab=supA=supB=ba.#加法和乘法的等价定义(I)为了证明加法的

7、结合律,需要对加法的定义作适当的改进.记号:Qf={rQ

8、r是有限十进小数}命题1.a,bR,对乘法设a,b>0.a+b=sup{x

9、a,bQf,a

10、a,bQf,0

11、nN}和B={x

12、a,bQf,a

13、限小数.在现在的情形AB,这样xy.下面证明yx.这只要证明x是B的上界就够了.任取xB,由B的定义a,bQf,a

14、m>0,bn>0.为确定起见,设mn.对于i>n,记t(i)=p+0.a1…(am-1)tm+1…ti+q+0.b1…(bn-1)tn+1…ti,其中tj=9,j>n.记C={t(k)

15、k>n},类似第一部分中的讨论,y=supC.因此,只要能够证明x=supC就够了.x是C的上界是显然的.下面x是C的上确界.加法和乘法的等价定义(IV)设x=x0+0.x1…xk,其中kn.这里考虑k>0的情形.则xk>0.注意对于i>n+1,t(i)有i位小数,其整数部分与前k-1位与x相同,第k位为xk-1,第k+1至i-1位为9,第i位为8

16、.即t(i)=x0+0.x1…(xk-1)9…98.cn+1时,t(i)>c;当c的第k位小数等于于xk-1时,设c第k位小数后第一个不为9的小数位是j,则当i>j时,t(i)>c.因此x=supC,也就是x=y.加法和乘法的等价定义(V)3.设a和b一个是有限小数,一个是无限小数.设a是有限小数a=p+0.a1…am.类似第一部分中的证明,可以得到yx.类似第二部分中的想法:令t(i)=p+0.a1…(am-1)tm+1…ti+sn(b),tj=9,j

17、>m.记C={t(k)

18、k>m}.则y=supC.这是因为CB,且B中的任意一个数一定比C中的某个数小.下面证明x=supC.设cm的情形.并且只需要考虑b的第n位小数不为0的那些情形.加法和乘法的等价定义(VI)注意当n>m时,sn(a)+sn(b)=x0+0.x1…xmbm+1…bn,而t(n)=x0+0.x1…xmbm+1…(bn-1).所以n>m,j>0sn(a)+sn(b)

19、与加法第一部分的证明完全平行.5.当a=p+0.a1…am,b=q+0.b1…bn,am>0,bn>0时,设mn.对于i>n,记t(i)=(p+0.a1…(am-1)tm+1…ti)(q+0.b1…(b