2019_2020学年高中数学第二章直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质学案

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1、2.3.3　直线与平面垂直的性质2.3.4　平面与平面垂直的性质知识导图学法指导1.线面垂直、面面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系，提供了它们之间相互转化的依据．因此，在应用时要善于运用转化的思想．2．利用面面垂直的性质定理时，找准两平面的交线是解题的关键．3．学习线面垂直的性质定理时，要注意区分与其相似的几个结论．高考导航1.直线与平面垂直的性质定理较少单独考查，常与平行关系及面面垂直关系综合，以解答题的形式出现，分值5～7分．2．平面与平面垂直的性质定理常与推理、计算结合，考查空间想象能力和逻辑推理能力，以选择题或解答题的其

2、中一问的形式出现，分值5～7分.知识点一　直线与平面垂直的性质文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言⇒a∥b图形语言作用①线面垂直⇒线线平行；②作平行线　　　　　1．直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．2．定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．知识点二　平面与平面垂直的性质文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直符号语言⇒a⊥β图形语言作用①面面垂直⇒线面垂直；②作面的垂线对面面垂直的性质定理的理解1．定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可

3、用来证明线面垂直．2．已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．[小试身手]1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是(　　)A．α⊥β，且m⊂α　B．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β解析：⇒m⊥β，故选B.答案：B2．已知△ABC和两条不同的直线l，m，l⊥AB，l⊥AC，m⊥AC，m⊥BC，则直线l，m的位置关系是(　　)A．平行B．异面C．相交D．垂直解析：因为直线l⊥AB，l⊥AC，所以直线l⊥平面ABC，同理直线m⊥平面ABC，根据线面垂

4、直的性质定理得l∥m.答案：A3.如图，BC是Rt△BAC的斜边，PA⊥平面ABC，PD⊥BC于点D，则图中直角三角形的个数是(　　)A．3B．5C．6D．8解析：由PA⊥平面ABC，知△PAC，△PAD，△PAB均为直角三角形，又PD⊥BC，PA⊥BC，PA∩PD＝P，∴BC⊥平面PAD.∴AD⊥BC，易知△ADC，△ADB，△PDC，△PDB均为直角三角形．又△BAC为直角三角形，所以共有8个直角三角形，故选D.答案：D4．如果三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则顶点在底面的正投影是底面三角形的________心．解析：三棱锥的三个侧面两两相互垂直

5、，则三条交线两两互相垂直，易证投影是底面三角形的垂心．答案：垂类型一　线面垂直的性质定理的应用例1　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1.【证明】　如图所示，连接A1C1，C1D，B1D1，BD.∵AC∥A1C1，EF⊥AC，∴EF⊥A1C1.又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1，∴EF⊥平面A1C1D　①.∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1.∵四边形A1B1C1D1为正方形，∴A1C1⊥B1D1，又B1D1∩BB1＝B1，

6、∴A1C1⊥平面BB1D1D，而BD1⊂平面BB1D1D，∴A1C1⊥BD1.同理DC1⊥BD1.又DC1∩A1C1＝C1，∴BD1⊥平面A1C1D　②.由①②可知EF∥BD1.方法归纳线面垂直的性质定理是证明两直线平行的重要依据，证明两直线平行的常用方法：(1)a∥b，b∥c⇒a∥c.(2)a∥α，a⊂β，β∩α＝b⇒a∥b.(3)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.(4)a⊥α，b⊥α⇒a∥b.跟踪训练1　如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC的中点，AD⊥平面ABC，D为FG的中点，且AF＝AG，EF＝EG.求证：BC∥FG.证明：连接

7、DE，AE，因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥BC.因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC，又AD∩AE＝A，所以BC⊥平面ADE.因为AF＝AG，D为FG的中点，所以AD⊥FG，同理ED⊥FG，又ED∩AD＝D，所以FG⊥平面ADE，所以BC∥FG.线面垂直的性质定理、公理4及线面平行的性质定理都是证明线线平行的依据，至于线面平行、面面平行，归结到最后还是要先证明线线平行．类型二　面面垂直的性质定理的应用例2　如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1，求证：CF⊥平面BDE.【证明】　如图，

8、设AC∩BD＝G，连接EG，FG.由AB＝易知CG＝1，则EF＝CG＝CE.又EF∥CG，所以四边形CEFG为菱形，所以C