高级微观经济学1-3章框架

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1、第1・3章：消费者理论一、形式化表述分析消费者偏好的性质(完备性，传递性，连续性，严格单调性，严格凸性等等)*二、效用函数存在性证明。请参考教材三、表述显示性偏好弱公理及显示性偏好强公理，并用于分析下面问题。考察一个对物甜1和物甜2有需求的消费者，当物品价格为『二(2,4)时，其需求为x'(1,2)o当价格为丁二(6,3)时，其需求为X?二(2,1),该消费者是否满足显示性偏好弱公理。如果x2=(1.4,1)时，该消费者是否满足显示性偏好弱公理。解答：p】x】=2*l+4*2=10>pf=2*2+4*1二8消费束1偏好于消费束2p2x'=6*l+3*2=12

2、x2=6*2+3*1=15消费束2偏好于消费束1违反了显示性偏好弱公理。如果亡二(1.4,1)时：p'x1=2*1+4*2=10>戸仪2=2*1.44-4*1=6.8消费束1偏好于消费束2p2x'=6*l+3*2=12

3、xu（x19x,）=max—~,此时x,=0,xx=—（源于消费束的非负限制）~PiPi"Pi实际上，这是一个边角解，五、设效用函数w（xPx2）=（xiP+xf）1P,其中这就是常（或不变）替代弹性（CES）效用函数。求：（1）瓦尔拉斯需求函数；（2）间接效用函数；（3）验证间接效用函数关于价格与收入是零次齐次的；（4）验证间接效用函数关于收入y是递增的，关于价格p是递减的；（5）验证罗伊恒等式；（6）求希克斯需求函数；（7）求支出函数；（8）从它对应的间接效用函数推导出支出函数，及从支出函数推导出间接效用函数。（9）验证%（pM=Xi（P，e（p,u》（对偶定

4、理）（1）求瓦尔拉斯需求函数列出拉格朗日函数：厶（兀1，兀2，久）=（兀£+坊）3+久（尹一P1兀1一〃2兀2）三个一阶条件：=(兀f+xf)(1PHx~X~^P—0=（彳+瑁）（S七厂—2久=0=y-P[X[^p2X2=Q整理，得:坷’(丛)3)丄Pl;y=P^x+P2x2求解，得：二p严bP^y%，一pfPT+p斜Pf.%2_pfT+p?T上式就是消费者的瓦尔拉斯需求函数。如果定义厂三PZ（P-l）,便可将瓦尔拉斯需求函数化简为：血沪壮；计，沪怎（2）求间接效用函数将上述两个瓦尔拉斯需求函数代入直接效用函数，可得间接效用函数:V（P』）=［（兀1（〃』）

5、）"+（兀2（P』））纤"珂诰讣+（以叶（3）验证间接效用函数关于价格和收入的零次齐次性;v(tp,ty)=ty^tpj+(tp2)r)_Ir=y{p[+p；尸=u(P』)（4）验证间接效用函数关于收入y是递增的，关于价格p是递减的，对它求关于收入与任何价格的微分，得：(5)验证罗伊等式：间接效用函数对价格求导除以间接效用函数对收入求导，别忘了乘・1!/1=(t}-(〃；+〃；)□z府'dv(p9y)/dy(〃；+〃；)"=号'「=兀(〃，刃，'=1,2P+P2(5)求解支出最小化问题minpxxx+p2x0・“2s.t.u-(xf+xf)rp=0其拉格朗日函数

6、为：=p}x}+p2x2+A[u-(xf+x?)"]三个一阶条件为：学二卩一《+坊)5屮=0商；°兀2^=u_（xf+球）1P=0oA通过消去久，这些式子被简化为:L悄心—(球+坊严令厂三0/(0—1),可解出希克斯需求函数:九(p,u)=u(p；+p；)u*pj方2曲）="（P；+P；）WH（7）将希克斯需求函数代入目标函数，可得支出函数：e（P，巧=p血（p,u）+p2h2（p,u）=upx（X+X）（1/rHX_1+④2（p；+p；）"Hp；-+必严（8）从间接效用函数推导出支出函数间接效用函数为：v（a^）=xx+x）_1/,将吩J）替换为U,解出yu=y

7、（p'i+p'2yi/r;尸“（”+p；）"再将y替换为"（〃，〃），得到支出函数为：e（p,u）=Li（p；+p；）m从支出函数推导出间接效用函数支出函数为:e（p9u）=u（p；+Py/r将U替换为Wpj）,将e（PM替换为y,解出WPJ）。y=心j）（p；+p；vn

8、，间接效用