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1、赏析与莱布尼茨三角形有关的中考压轴题董永春,赵海涛，陈刚四川师范大学附属第一实验中学，四川成都(610000)莱布尼茨，G．W．(Leibniz，GottfriedWilhelm)1646年7月1日生于德国莱比锡，微积分的创始人，在1859年李善兰和伟烈亚力(A．Wylie)合译的《代微积拾级》一书的序言中就说到莱布尼兹，他的信件中有200多封谈到了中国。莱布尼茨可谓是第一位全面认识东方文化尤其是中国文化的西方学者[1]。笔者在近年的教学中发现，与莱布尼茨三角形相关的材料题由于形式优美，内容丰富，在中考及一些竞赛中经常出现，现笔者通过研究整理，总结了一些常用简单方法，下面从一些考题举例说明。
2、例1(2001浙江省绍兴市中考题，2016岳阳高三期末)如右图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，所表示的数是．11l1211331144115101051分析：由题目我们容易发现，底下的数总是肩上两个数的和，所以=6.点评：此题考察杨辉三角中数之间的关系.l22343477451114115.....................................ab.................................cd........................................变式1(2005南宁中考题，20
3、10杭州初三一模)如图是与杨辉三角有类似性质的三角形垒，a,b,c,d是相邻两行的前四个数，那么当a=8时，c=____,d=_____.分析：容易发现，底下的数总是肩上两个数的和,第6行的前两个数为6、16.第7行的前两个数为7、22.第8行的前两个数为8、29.当a=8时,c=9,b=29,d=a+b=37.点评：此题考察类比杨辉三角中数之间的关系.变式2(2015成都外国语学校直升题，2016无锡初三期末)把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、…中间用虚线围的一列从上至下依次为1、5、13、25、…则第10个数为________.分析：由题目1、5、13、2
4、5、…我们发现，每两数相差4、8、12、16、20.所以第10个数为:1+4+8+12+16+…+36=181.拓展：第100行第50个数为多少？第2017行第88个数呢？点评：发现此数列偶数行顺序排，奇数行倒序排列.第100行第50个数为偶数行,顺序排列,所以为:1+2+3+…+99+50=5100;第2017行第88个数为奇数行,倒序排列,所以为:1+2+3+…+2017+(2017-88+1)=2037083.例2(2010IMC国际数学竞赛，2012哈尔滨中考题)世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示：……………………………………………………则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（）A
5、．B．C．D．分析：由题目发现，底下两数的和总是它上面的数，第10行第一个数为,第9行第一个数为,第9行第二个数为,第10行第二个数为,第10行第三个数为,选B.点评:此题方法多,还可以从分母入手:每行第三个数:3,12,30,60,105,168,252,360;相邻两数的差为:9,18,30,45,63,84,108;再做相邻两数的差得:9,12,15,18,21,24,是个三阶等差数列,继而可求解.知识拓展：1672年，荷兰数学家惠更斯给刚到巴黎的莱布尼茨出了一道他自己正同别人竞赛的题目：求三角级数(1，3，6，10，…)倒数的级数之和.莱布尼茨圆满地解决了这一问题，他是这样计算的：，
6、所以人们把上述数列称为莱布尼茨三角形.竞赛拓展:可以想象莱布尼茨三角形中肯定蕴含着大量求和的性质.将杨辉三角中的每个数都换成分数，莱布尼兹三角形具有以下基本性质：（1）莱布尼茨三角形中每一个数都等于其两脚处的两数之和；（2）莱布尼茨三角形中的数字左右对称；（3）每一行的数字之和为1；（4）莱布尼茨三角形中任何一数等于从其左脚（或右脚）开始往下作平行于斜边的斜线上的无穷多个数组成的和.如;;;等.这一性质也是高等数学里的无穷级数的和,上述三角形数也是莱布尼茨建立微积分的基础.变式1（2008湖北恩施中考题，2011常德中考题）将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图4所示的分数三角形，称
7、莱布尼茨三角形.若用有序实数对(ｍ，ｎ)表示第ｍ行,从左到右第ｎ个数,如(4,3)表示分数.那么(9,2)表示的分数是.第一行第二行第三行第四行分析：由题目我们发现，每行第一个分数的分母为行号,如第n行为，第二个分母为.易得答案为.变式2(2016天水中考题，1998希望杯二试试题)将l，，，，，…按一定规律排成下图：从表中可以看到第4行中，自左向右第3个数是，第5行中从左向右第2数是，那么第199行中自左向
