森林救火模型

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1、森林救火模型问题提出：森林失火了，消防队接到报警后应派多少消防队员去救火呢？一、问题分析:派出的队员越多，森林损失越小，但是救援开支会越多，所以需要综合考虑森林的损失费和救援费与队员人数之间的关系，以总费用最少来决定派出队员的数目。损失费通常正比于森林烧毁面积，而烧毁面积与失火、灭火时间有关，灭火时间又取决于消防队员数目，队员越多，灭火时间越短。而救援费既与消防队员人数有关，又与灭火时间长短有关。记失火时刻为，开始救火时刻为，设在时刻森林烧毁面积为，则造成损失的森林烧毁面积为，建模要对函数的形式作出合理的简单

2、假设。研究比更为直接和方便，是单位时间烧毁面积，表示火势蔓延的程度。在消防队员到达之前，即时，火势越来越大，即随t的增加而增加；开始救火后，即，如果消防队员救火能力足够强，火势会越来越小，即应该减小，并且当时，有。救援费可以分为两个部分：一部分是灭火材料的损耗和消防队员的薪金等，与队员数量及灭火时间有关；另外一部分是运送队员一次性支出，只与消防队员人数有关。二、模型假设：1、森林中树木分布均匀，而且火灾是在无风条件下发生的。2、损失费与森林烧毁面积成正比，比例系数为单位烧毁面积的损失费。3、从失火到开始救火这

3、段时间（）内，火势蔓延程度与时间成正比，比例系数β为火势蔓延速度，即：4、派出消防队员名，开始救火后（），火势蔓延速度降为，其中为每个队员的平均灭火速度，显然有。因为要扑灭森林大火，灭火速度必须大于火势蔓延速度，否则火势将难以控制。5、每个消防队员单位时间费用为（包括灭火材料的消耗及消防队员的薪金等），救火时间为；每个队员的一次性支出为（运送队员、器材一次性支出）。对于假设3作如下解释：由于森林中树木分布均匀，且火灾是在无风条件下发生的，因而火势可以看作以失火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，因而蔓延半径

4、与时间成正比，又因为烧毁面积与成正比，从而与成正比。三、模型的构成：根据假设条件3，4，火势蔓延程度在线性地增加，在线性地减少，图形如下：记时，烧毁面积恰好是图形中三角形的面积，显然有由b的定义有，于是所以根据假设条件2，5，森林损失费为，救援费为所以总费用为：即：四、模型求解：为了求使得达到最小，令，可以得到应该派出的队员人数为：五、模型分析与改进：1、应该派出（最优）队员人数有两个部分组成，其中一部分是为了把火扑灭所必须派出的最少队员数。因为是火势蔓延速度，而是每个队员的平均灭火速度，同时也说明这个最优解

5、满足约束条件，结果是合理的。2、派出队员的另外一部分与问题的各个参数有关。当队员的灭火速度和救援费用系数增大时，队员人数减少;当火势蔓延速度，开始救火时的火势b及损失费用系数增大时，消防队员人数增加；救援费用系数增大时，队员人数也增加。3、改进方向:（1）取消树木分布均匀、无风这一假设，考虑更一般情况；（2）灭火速度是常数不尽合理，至少与开始救火时的火势有关；（3）对不同种类的森林发生火灾，派出的队员数应不同，虽然β能从某种程度上反映森林类型不同，但对β相同的两种森林，派出的队员也未必相同；（4）决定派出队员

6、人数时，人们必然在森林损失费和救援费用之间作权衡，可通过对两部分费用的权重来体现这一点。