虚功原理在竞赛中的妙用

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1、竞赛物理ζ虚功原理在竞赛中的妙用◇深圳中学姚学林肖相如熊兆熙虚功原理是指物体在力系作用下处于平衡状态，若假设绳长有dl的变化，则绳子张力做功为W=－Tdl物体由于其他原因产生符合约束条件的微小连续虚位由虚功原理有W=dE即－Tdl=d（－3mgl）=－3mgdl移，则外力在位移上所做的虚功W恒等于物体内力合得T=3mg力在虚位移上所做的内力虚功W。可简单写成：W（外可见虚功原理可大大减少运算量。i力功）=W（内力功）。例2匀质杆AB始终在平面内，A端靠在光滑墙i上，B端在一光滑曲面上，如图2示。

2、若无论B在何处杆虚功原理的应用条件是：力系应当满足平衡条件———均受力平衡，求曲面方程。力系是平衡的。在高中物理竞赛中有一部分静力学的问题，如果应用一般的常规方法往往需要复杂的列方程和烦琐的数y学运算，但如果对分析力学中的虚功原理有所了解并应Aθ用，会使得我们的解题过程大大简化。下面就我们常见的几个问题举例：例1如图1所示，5根长度均为l的质量均为m的B（x，y）均质杆，将它们端点铰接成为正六边形机构，固定在天花Ox板上，使六边形在竖直平面内，并用不可伸长的轻绳一端图2连在下杆中点挂在天花板上，

3、轻绳竖直，求绳上的张力。解法一：常规受力分析如图3所示，因曲面光滑，约束力合力沿法向。yANθCN2图1PφφN1B（x，y）解析：若用常规做法，需要列几个受力平衡和力矩平衡方程。用虚功原理可以化简计算。Ox图3设此时绳长为l，则五根杆构成的系统的重力势能l3l为E=－2mg－2mg－mgl=－3mgl4456［物理教学探讨·高中学生版］竞赛物理N1dyQ于是有：=tanφ=%%①Ndx2φ由几何关系：sinθ=x/l%%%②JK由竖直方向受力平衡得：N=P%%%③x22a对A点由力矩平衡得：C

4、ATTNcosθ+（Plsinθ）/2=Nlsinθ%%④12联立①②③④解出N，N后代入①式得：12lxdyl=Pdxx221－φφ%姨ly图4xylxdφφ=dφφlx2l解法一：常规受力分析的方法21－φφ%姨l铰链不提供力矩，故AP，CP对P点只有沿杆作用y1令sinu=x/l，则上式化为：dφφ=sinudu力。即F，Q处铰链受力左右对称，又为平衡。故作用力1l2只有水平分量，即F。其余各力如图5所示。积分得：4x2Fy114Q=－cosu+C%y=－1－φφ%+C′φl22姨laF1

5、F1sinφF2F3φφNlφ因x=0时y=0，故有：C′=2TAKφ1x2F1所以曲线方程为：y=姨1-1－φφ%姨2姨lAP此方法较烦琐，且用到高等数学的知识。F3F2图5解法二：虚功原理约束为理想约束，主动力为重力，由虚功原理，虚位对AQ杆：移中主动力做功为零，即沿杆方向受力平衡：Fsinφ=F42Pδy=0Caa%yC=常量对K点力矩平衡：F4cosφ=F3φl－φsinφsinφ1%由几何关系：y=y+姨l2-x2对铰链A：C2竖直方向受力平衡：Fcosφ+Fsinφ=Fcosφ231

6、1%22故y+姨l-x=常量水平方向受力平衡：T+Fsinφ+Fsinφ=Fcosφ2123l对铰链P：因x=0时y=0%，故常量为。2竖直方向受力平衡：2Fcosφ=P11x2a故y=姨1-1－φφ%姨联立以上5式解得：T=Pφ－tanφφ2姨l2lsin2φcosφ显而易见，采用虚功原理大大简化了我们的解题解法二：虚功原理过程。建立如图4所示的坐标系，主动力为两个T，及P，例3如图4所示，四根相同的长度为l的光滑轻杆约束为理想约束，则有：由铰链连接成菱形，一轻绳系在两对角间，下部挂一重x=l

7、sinφ%δx=lcosφδφAA量为P的重物，系统放置于两根等高相距为2a（2a＜2l）δφy=2lcosφ－acotφ%%δy=－2lsinφδφ+aPP2的杆上，求绳中的张力？φ角已知。sinφ［物理教学探讨·高中学生版］57竞赛物理由虚功原理得：－2Tδx+Pδy=0APaβ将δxA，δyP代入可得：T=P2－tanφ2lsinφcosφ例4四根长为l重为mg，两根长为2l重为2mg的匀质杆由铰链连接，如图6所示悬挂，图中连接在节点Nkα%之间的轻绳长姨2l，求其绳中的张力。N（k-

8、1）xW图8AllBδy球在x方向受力为0，有：Ncosα+Wcosβ－Ncosα=0k－1k姨姨姨（2k－1）π姨姨cos姨姨姨姨4n姨C2δy整理得：N－N=姨姨Wkk－1姨姨姨π姨姨cos姨姨姨姨4n姨姨姨图6那么求和可以得到：解法一：利用常规受力分析的方法再列出力的平衡ii（2k－1）πkπππ方程和力矩的平衡方程求解，这里就不再赘述。∑∑cos∑W∑∑2cos－sin∑Wk=14nk=12n4n4nN==解法二：利用虚功原理进行求解iπππcos2cossin将张力视为主动力，设想