数学三十六计继集3：踢三角

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1、数学三十六计继集之3：踢三角作者：蚂蚁老师马到成功老师踢三角为奥数计算题中的一个公式，可以用来计算满足以下条件的算式，1、拥有自然数列，2、拥有等差数列。公式为：1（1+2+3++n)(1+2n)，具体处理问题的精妙，可从例题与练习题3中来感悟。【精典名题1】。例1计算2+5+8+11+14+17+20+23【思路点拨】显然这是一串等差数列求和。如下图，我们把这串数字顺次写到孙悟空的“金箍棒”上：我们再复制一个完全一样的“金箍棒”，然后把复制的“金箍棒”掉一下头（即绕中心旋转180°），再把两个“金箍棒”

2、合二为一，最后把相同位置上的数相加。如下图：我们会发现最后合二为一的这个“金箍棒”每个位置上的数1都是25（2+23=5+20=…=23+2=25），一共有8个位置，所以最后这个“金箍棒”上所有的数的和等于25×8=200，而这个“金箍棒”是由最开始的两个“金箍棒”合二为一的，所以最开始的“金箍棒”上的所有的数之和等于200÷2=100。因此，我们可以知道2+5+8+11+14+17+20+23=(2+23)×8÷2=100而事实上，对于任意等差数列{an}，我们采取同样的方式：这里有ai+an-i+1=a

3、1+(i-1)·d+an+[(n-i+1)-n]·d=a1+an所以a1+a2+a3+…+an=(a1+an)·n÷2，即nSn=(a1+an)，（其中{an}为等差数列）2【精典名题2】计算1+(1+5)+(1+5+9)+(1+5+9+13)+…+(1+5+9+…+101)【思路点拨】可能很多人看到这道题目的第一反应就是对每一个括号进行等差数列求和，然后再进行下一步计算。我们不妨来尝试一下：1×(1+1)2×(1+5)3×(1+9)26×(1+101)原式=+++…+22221×22×63×1026×10

4、2=+++…+22222我们会发现到这里后，接下来的计算就不太容易进行下去。换一个角度来观察原题，容易看出题目中共出现了1个101、2个97、3个93、…、25个5和26个1，因此，原式=1×101+2×97+3×93+…+25×5+26×1。而变形后的这个算式，是若干个乘积的和的形式。每一部分乘法算式的第一个因数构成1开始的自然数列，而第二个因数n101、97、93、…、5、1，则构成了一个等差数列。也就是iaii1的形式。n我们可以从乘法的意义上来理解式子(i×ai)，其中1×a1表i=1示1个a1,2

5、×a2表示2个a2，…，i×ai表示i个ai，…，n×an表示n个an，然后把这些数按照下图方式进行排列：这些数正好可以排成一个三角形的形状。我们如果对这个“三角形”按顺时针方向踢上两脚，则会变成以下样子：3如果把上面三个“三角形”合到一起，我们会神奇地发现重叠之后每一个位置上的三个数之和都等于a1+2an（证明过程略）。n(n+1)而每一个“三角形”都有1+2+3+…+n=个位置，所以三个2n(n+1)“三角形”上的所有数之和就等于(a+2a)=，从而一个“三1n2角形”上的所有数之和就等于n(n+1)1

6、n(n+1)(a+2a)=×=(a+2a)=，即1n1n236n()nn+1(i×ai)=(a1+2an)，（其中{an}为等差数列）6i=1根据这个公式，我们就可以计算前面1×101+2×97+3×93+…+25×5+26×1的结果了。1×101+2×97+3×93+…+25×5+26×1=(101+1×2)×26×27÷6=120512222【精典名题3】1+2+3+n＝【思路点拨】2222构造见上图，每个三角形内所有数的和都是：1+2+3+n三个三角形图叠放在一起，就获得原式的3倍，每个位置上三层

7、4之和都是(2n-1)，一共有(1+2+3++n)个。2222111所以=1+2+3+n=(2n+1)´n(n+1)´=n(n+1)(2n+1)236【精典名题4】计算5×23+6×25+7×27+…+20×53【思路点拨】解法一：原式=(1×15+2×17+3×19+…+20×53)-(1×15+2×17+3×19+4×21)=(15+53×2)×20×21÷6-(15+21×2)×4×5÷6=8470-190=8280解法二：原式=(1×23+2×25+3×27+…+16×53)+(23+25+27

8、+…+53)×4=(23+53×2)×16×17÷6+(23+53)×16÷2×4=5848+2832=8280【精典名题5】根据图中5个图形的变化规律，求第99个图形中所有圆圈（实心圆圈与空心圆圈）的个数．5【思路点拨】先来看这个题目：1×2×a1+2×3×a2+3×4×a3+…+n×(n+1)×an，（其中{an}为等差数列）分析：根据等差数列求和公式，我们知道n×(n+1)=2×(1+2+3+…+n)，所以