动点与几何最值 学生版

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1、动点与几何最值一、将军饮马问题作法图解原理连接ABPA+PB的最小值为AB，两点之间，线段最短在直线m上找一点P，使PA+PB最小作关于直线mAP+BP=A’B，两点之间，线段的对称点A’，最短（注：作一个点关于某条直连接A’B，与直线的对称点，实际上就是将这条线m的交点即直线转化为这个点和其对称点在直线m上求一点P，为点P连线的中垂线）使AP+BP最小分别作点P关PM+MN+PN=P’P’’,两点之间，于两直线的对线段最短称点P’、P’’，连接P’P’’，与在直线m、k上分别求点两直线的交点M、N，使∆

2、PMN周长最即为M、N小分别作P、Q关线段PQ长度不变，且于直线m、k的PM+MN+NQ=P’Q’,两点之间,线对称点P’、Q’，段最短.周长的最小值为连接P’Q’，与PQ+P’Q’直线的交点即在直线m、k上分别求为M、N点M、N，使四边形PMNQ周长最小连接BA并延长

3、AP-BP

4、=AB,三角形任意两边之与直线m的交差小于第三边点即为点P在直线m上求点P，使

5、AP-BP

6、最大初三数学动点与线段和差.邬平剑作品Page1of30作B关于直线BP=B’P,

7、AP-BP

8、=

9、AP-B’P

10、=AB’m的对称点B

11、’，三角形任意两边之差小于第三作直线AB’与边m的交点即为在直线m上求点P，使点P

12、AP-BP

13、最大问题作法图解原理连接AB,作AB

14、PA-PB

15、=0，线段垂直平分线上的中垂线与m的点到线段两端点的距离相等。的交点即为点在异于P点的任意点，都使在直线m上求点P，使P

16、PA-PB

17、＞0

18、PA-PB

19、最小作点P关于直线OB的对称点P’,过P’向直线PD=P’D，PD+CD的最小值为OA作垂线与P’C的长度.点P到直线OA上的点P在锐角∠AOB内OB的交点为所点的距离，垂线段最短部，在OB边上求作一点求点D,垂

20、足即D，在OA边行求作一点为点CC，使PD+CD最小将A向右平移a个单位到A’，作A’关于m的对称点A’’，连AM+MN+NB=a+A’’B,两点之接A’’B,与m的间，线段最短在直线m上求两点M、交点即为点N，N(M在左)，使得MN=a，将点N向左平并使AM+MN+NB最小移a个单位即为M作B关于m的对称点B’；作A关于k的对称B’P=BP,A’Q=AQ;点A’,连接A’B’,AQ+PQ+PB的最小值为A’B’.两与直线m、k分点之间线段最短在直线m、k上分别找两别交于P、Q.点P、Q，使AQ+PQ+P

21、BP、Q即为所求最小初三数学动点与线段和差.邬平剑作品Page2of30作射线m、k的夹角的角平分角平分线上的点到角两边的距线与线段AB的离相等；中垂线上的点到线段两中垂线，它们的端点的距离相等求作一点P，使点P到射交点即为点P线m、k的距离相等，且使PA=PB初三数学动点与线段和差.邬平剑作品Page3of301.几何中的将军饮马【例1】（2013贵州六盘水）（1）观察发现如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与

22、直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为．（2）实践运用如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为．（3）拓展延伸如图（4）：点P是四边形AB

23、CD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．初三数学动点与线段和差.邬平剑作品Page4of30【例2】（2013年福建莆田）如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为_____________ADQPBC【例3】（2013四川内江，16，5分）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=．【例4】如图，AOB30，点P

24、位于AOB的内，OP3，点MN,分别是射线OAOB,上的动点，求PMN的最小周长.初三数学动点与线段和差.邬平剑作品Page5of30【例5】（2013湖北省鄂州市）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB230．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（）A．6B．8C．10D．12【例6】如图，