高级运筹学-第2章：模糊集合

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1、第二章模糊集合2.0引论一、模糊集合产生的原因1、现实世界中存在大量的模糊现象和模糊概念。如“青年人”、“高个子”等。2、研究模糊性具有重要的现实意义。如“做化学实验”、“炒莱”等。3、信息科学和人工智能的发展促进了模糊数学的产生。如“电视图像的调节”等。人脑思维活动的特点之一：就是能对模糊事物进行识别和判断。如：要找一个人，只知道他是“高个子，大胡子”，无须知道他的身高究竟具体是多少米，以及脸上有多少根胡子、平均有多粗。二、模糊性与随机性的区别1、模糊性：事物的概念本身是模糊的。即事物是否符合给出的概念不明确。2、随机性：事物的概念本身是

2、明确的，只是发生的条件不充分，使条件与事物的发生无因果关系，从而事物的发生与否表现出不确定性，但有统计规律。三、起源1965年，(美)著名控制论教授扎德(L.A.Zadeh)发表论文“模糊数学(fuzzy)”。给定量研究客观世界中的模糊性开辟了新途径。12.1模糊集合的定义一、普通集合论知识：确定概念→普通集合→特征函数1、集合的概念：符合某个确定概念的对象的全体。常用字母A、B、C等表示。因此，确定概念可用集合来表示，集合是确定概念的外延。2、论域：某议题范围内被讨论的全部对象。常用字母U、V、X、Y等表示。论域中的每个对象叫

3、元素。常用字母a、b、c、d等表示。如：{中南大学的学生}就可以成为一个论域。⑴有限论域：元素个数为有限个或可列个的论域。⑵无限论域：元素个数为无限个的论域。3、论域中的子集：论域U中某一部分元素组成的全体叫论域U中的一个集合。用A、B、等表示。如论域U={中南大学的学生}，则A={中南大学的男学生}就是论域U中的一个集合。二、模糊子集的定义：模糊概念→模糊集合→隶属函数给定论域U，称A是论域U上的模糊子集(记为Ã)：如果对x∈U，都有一个确定的数A(x)∈[0,1]与之对应。此时，映射A(x)：U[0,1]xA(x

4、)A(x)称为A的隶属函数；数A(x)称为论域U中的元素x对模糊子集A的隶属度，表示x属于A的程度。特例：当A(x)=0、1时，模糊子集Ã蜕化为普通集合A；Ã的隶属函数A(x)蜕化为A特征函数CA(x)，即2例2-1组成一个100人的评比小组，对五种商品X1,X2,X3,X4,X5进行评比。结果是：认为商品X1“质量好”的有81人，占81%=0.81；认为商品X2“质量好”的有53人，占53%=0.53；认为商品X3“质量好”的有100人，占100%=1；认为商品X4“质量好”的有0人，占0%=0；认为商品X5“质量好”的有24人，

5、占24%=0.24。对论域U={X1,X2,X3,X4,X5}(有限论域)中的每一个元素均规定了一个隶属度：X1→0.81，X2→0.53，X3→0.1，X4→0，X5→0.24它们确定了U中的一个模糊子集A，表示商品“质量好”这一模糊概念。例2-2考查某商店商品销售利润的经济效益论域U=[0，k](无限论域)表示该商品销售利润额的范围，则表示商品销售利润的“经济效益好”这一模糊概念的模糊子集Ã，用以下隶属函数表示：其中，n为同期商品销售额，m为销售利润效益最好时刻的利润率。3例2-3取年龄为论域U=[0,100]，给出两个模糊概念“年轻”

6、和“年老”，表示它们的两模糊子集记为Y与O，其隶属函数定义为：0150100x0125100x若你的年龄x=30岁，则42.2模糊子集的运算：Ã仍记为A(除非特别申明)1.关系运算：对论域U⑴模糊空集：对xU，均有(x)=0⑵模糊全集E：对xU，均有E(x)=1⑶模糊幂集(U)：U中的全体模糊子集(含普通子集)构成的普通集合(其元素是模糊子集)。⑷A=B：对xU，均有A(x)=B(x)⑸AB：对xU，均有A(x)≤B(x)2.并、交、余运算：对论域U⑴并(A∪B)：设A,B(U),对xU，则

7、A∪B是由下列隶属函数确定的模糊子集A∪B(x)=Max{A(x),B(x)}=A(x)∨B(x）⑵交(A∩B)：设A,B(U),对xU，则A∩B是由下列隶属函数确定的模糊子集A∩B(x)=Min{A(x),B(x)}=A(x)∧B(x）⑶余(Ac)：设A(U),对xU，则Ac是由下列隶属函数确定的模糊子集Ac(x)=1-A(x)例2-4商品论域U={X1,X2,X3,X4,X5}，表示“商品质量好”这个模糊概念的模糊子集为：A={0.81,0.53,1,0,0.24}，“商品质量差”这个模糊概念的模

8、糊子集为：B={0.05,0.21,0,0.36,0.57}。则：①表示“商品质量或好或差”这个模糊概念的模糊子集为：A∪B={0.81∨0.05,0.53∨0.21,1∨0,0