高数复习资料(微积分基本定理)

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1、§5.3微积分基本定理问题:研究不从定义出发计算定积分的简便方法10两个问题(1)在时间段[T1,T2]内,物体经过的路程:若物体的位置函数s=s(t),则S(t)具有性质:(2)设y=f(x)在[a,b]上连续,对任意x[a,b],面积函数A(x)如图所示,abxyoA(x)具有性质:其中对一般的积分是否成立自然要问:则有能否求一个函数F(x)使在[a,b]上成立1:的函数F(x),是否有等式对于求得的在[a,b]上满足2:成立?其中对一般的积分是否成立Q:20微积分第一基本定理及变限积分函数能否求一个函数F(x)使在[a,b]先来研究问题一：上成立：定理(微积分第一基本定理)若y=

2、f(x)在[a,b]上连续,任取x0[a,b]固定,在[a,b]上可导,而且则函数(1)证明:任取x[a,b],∆x0,使x+∆x[a,b],由于(ξ介于x与x+∆x之间)注意到,当∆x0时,ξx及f(x)在[a,b]上连续,故有定理说明:当f(x)在[a,b]上连续时,问题一有解,就是问题一的解函数说明:(1)由式(1)从而可知:微分运算“d”与变上限积分运算“”是互逆的运算(2)变上限积分函数是表示函数的重要手段(许多工程中的重要函数用积分形式表示如Fresnel函数),它以公式(1)作为求导公式30原函数和不定积分问题如何计算?先讨论满足的函数F(x)的性质定义设f(x

3、)在[a,b]上有定义,如果对任意的x[a,b],都有或则称F(x)为f(x)(或f(x)dx)在[a,b]上的一个原函数.定理(原函数存在定理)如果f(x)在[a,b]上连续,则是f(x)在[a,b]上的一个原函数,即连续函数必有原函数.定理(关于原函数的性质)(1)若F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数,则对任意cR,F(x)+c也是f(x)在[a,b]上的原函数原函数,(2)若是f(x)在[a,b]上的另外两个则存在cR使即f(x)的任意两个原函数之间最多相差一个常数证明(2)设则由F1(x),F2(x)都为f(x)在[a,b]上的原函数知即从而F(x)在[a,b]上

4、恒等于常数,即存在常数c使F(x)c由此得知:在知道f(x)的一个原函数F(x)之后,则F(x)+c(c为任意实数)表示了f(x)的所有原函数定义我们把f(x)在[a,b]上的原函数的一般表达式F(x)+c称为f(x)在[a,b]上的不定积分,记为即其中F(x)是f(x)在[a,b]上的某一原函数,c为任意实数.(1)不定积分表示一族函数,它涵盖了f(x)在[a,b]上原函数的全体现若f(x)在[a,b]上连续,则变上限积分函数是f(x)在[a,b]上的一个原函数,于是有说明:（3）不定积分运算与求导运算呈互逆关系(相差一常数意义下),这就使我们可从求导公式来获得不定积分的计算公式!(

5、2)即不定积分运算“”与微分运算“d”在相差一任意常数的意义下是“互逆”的根据求导公式可得以下不定积分公式:的函数F(x),是否有等式对于求得的在[a,b]上满足问题二:成立?下面研究40微积分第二基本定理设f(x)在[a,b]上连续,若能计算出不定积分从而获得f(x)在[a,b]上的一个原函数F(x),则有令x=a得,F(a)+c=0c=－F(a)可得所以有定理(微积分第二基本定理)说明:(1)牛顿—莱布尼兹公式把的计算问题转化f(x)在[a,b]上的一个原函数的计算问题转化不定积分的计算问题,从而回避从定义计算定积分(2)前述的问题一,问题二得到解决设f(x)在[a,b]上连续,

6、F(x)是f(x)在[a,b]上的任意一个原函数,则(牛顿—莱布尼兹公式)例计算解首先计算在[0,1]上的原函数为此计算由于所以则F(x)在[0,1]上是的一个原函数,取函数F(x)=x-2arctanx,例计算其中解变上限积分函数的进一步讨论:变限积分函数既然是一函数,就可讨论其一系列的函数性质(例如,单调性,最值,凹凸性等)解因为设f(x)是连续函数，而(x)，(x)均为可微证明:若,计算若记例函数,(2)由于同理可得所以有所以有(1)利用公式(1)有(2)解由设f(x)在a,b上连续，且f(x)>0，又证明:(2)F(x)=0在a,b内有且仅有一个实根例(1)又F(x)

7、在a,b上可微同时注意到F(x)严格单调增F(x)在a,b上连续根据零值定理知存在(a,b),F()=0使有且仅有一个实根所以方程F(x)=0例设f(x)在[a,b]上连续,且单调增,证明:解原问题构造辅助函数则有F(a)=0,我们希望证明F(x)在[a,b]上单调增对任意的x[a,b]所以F(x)在[a,b]上单调增.于是有F(b)F(a)=0由此证得例设f(x)在[a,b]上具有连续的二阶导数,求证:在(a