郑忠喜量子力学课件1

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1、Z处于S态的氢原子S态的氢原子束流，经非均匀磁场发生偏转，在感光板上呈现两条分立线。NS（一）Stern-Gerlach实验第八章自旋§1电子的自旋一、电子的自旋的试验基础3p3s5893Å3p3/23p1/23s1/2D1D25896Å5890Å钠原子光谱中的一条亮黄线5893Å，用高分辨率的光谱仪观测，可以看到该谱线其实是由靠的很近的两条谱线组成。其他原子光谱中也可以发现这种谱线由更细的一些线组成的现象，称之为光谱线的精细结构。该现象只有考虑了电子的自旋才能得到解释（二）光谱线精细结构乌伦贝克（Uhlenbeck）和哥德斯密特（G

2、oudsmit）1925年根据上述现象提出了电子自旋假设（1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：（2）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的关系为：自旋磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数值：Bohr磁子二、电子自旋假设（1）电子自旋回转磁比率我们知道，轨道角动量与轨道磁矩的关系是：（2）电子轨道回转磁比率则，轨道回转磁比率为：可见电子自旋回转磁比率是轨道回转磁比率的二倍三、回转磁比率自旋角动量是纯量子概念，它不可能用经典力学来解释。自旋角动量也是一个力学量，但是它和其他力学量有着根本的差别通常的力学

3、量都可以表示为坐标和动量的函数而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。与其他力学量一样，自旋角动量也是用一个算符描写，记为自旋角动量轨道角动量异同点与坐标、动量无关不适用同是角动量满足同样的角动量对易关系（一）自旋算符§2电子的自旋算符和自旋波函数由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取±/2两个值所以的本征值都是±/2，其平方为[/2]2算符的本征值是仿照自旋量子数s只有一个数值因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用(x,y,z)三个坐标变量外，还需

4、要一个自旋变量(SZ），于是电子的含自旋的波函数需写为：写成列矩阵若已知电子处于Sz=/2或Sz=-/2的自旋态，则波函数可分别写为：（二）含自旋的状态波函数（1）SZ的矩阵形式电子自旋算符（如SZ）是作用与电子自旋波函数上的，既然电子波函数表示成了2×1的列矩阵，那末，电子自旋算符的矩阵表示应该是2×2矩阵。因为Φ1/2描写的态，SZ有确定值/2，所以Φ1/2是SZ的本征态，本征值为/2，即有：矩阵形式同理对Φ–1/2处理，有最后得SZ的矩阵形式SZ是对角矩阵，对角矩阵元是其本征值±/2。（三）自旋算符的矩阵表示与Pauli矩

5、阵（2）Pauli算符1.Pauli算符的引进分量形式因为Sx,Sy,Sz的本征值都是±/2，所以σx,σy,σz的本征值都是±1；σx2,σy2,σZ2的本征值都是1。即：2.反对易关系证：我们从对易关系:出发左乘σy右乘σy二式相加同理可证:x,y分量的反对易关系亦成立.[证毕]或由对易关系和反对易关系还可以得到关于Pauli算符的如下非常有用性质：σy2=13.Pauli算符的矩阵形式根据定义求Pauli算符的其他两个分量令利用反对易关系σX简化为：令：c=exp[iα](α为实），则由力学量算符厄密性得：b=c*(或c=b*)σ

6、x2=I求σy的矩阵形式从自旋算符与Pauli矩阵的关系自然得到自旋算符的矩阵表示：写成矩阵形式（1）归一化电子波函数表示成矩阵形式后，波函数的归一化时必须同时对自旋求和和对空间坐标积分，即（2）几率密度表示t时刻在r点附近单位体积内找到电子的几率表示t时刻r点处单位体积内找到自旋Sz=/2的电子的几率表示t时刻r点处单位体积内找到自旋Sz=–/2的电子的几率在全空间找到Sz=/2的电子的几率在全空间找到Sz=–/2的电子的几率（四）含自旋波函数的归一化和几率密度波函数这是因为，通常自旋和轨道运动之间是有相互作用的，所以电子的自旋

7、状态对轨道运动有影响。但是，当这种相互作用很小时，可以将其忽略，则ψ1,ψ2对(x,y,z)的依赖一样，即函数形式是相同的。此时Φ可以写成如下形式：求：自旋波函数χ(Sz)SZ的本征方程令一般情况下，ψ1≠ψ2，二者对(x,y,z)的依赖是不一样的。（五）自旋波函数因为Sz是2×2矩阵，所以在S2,Sz为对角矩阵的表象内，χ1/2,χ-1/2都应是2×1的列矩阵。代入本征方程得：由归一化条件确定a1所以二者是属于不同本征值的本征函数，彼此应该正交引进自旋后，任一自旋算符的函数G在Sz表象表示为2×2矩阵算符G在任意态Φ中对自旋求平均的平均

8、值算符G在Φ态中对坐标和自旋同时求平均的平均值是：（六）力学量平均值