[精品]浅谈图形旋转的巧用

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1、图（2）DC浅谈图形旋转的巧用李梦达对于图形的运动，我们往往很难动态地把握图形特点，导致它成为儿何教学屮的难点，但如能熟练运用，可以巧妙地解决相关问题，其屮图形的旋转尤为突出。旋转的核心冇两个，即旋转中心与旋转角，只冇紧紧抓住这两点，方能更好地理解、应用。例1：如图（1）,在矩形ABCD屮，CD=2,将三角尺的30°角的顶点与A重合，一边与AD重合，另一边过点C。当顺吋针转动三角尺a（0°WaW60。）度吋，求三角尺与矩形重合部分的面积（用含Q的代数式表示）。分析：三角尺的转动实际上可以看作ZDAC的旋转,其屮A为

2、旋转中心。从图形的运动分析可以得到两类图形，如图（2）与图（3）。解：VZDAC=30°,ZCDA=90°,CD=2,Z.AD=CD•ctg30°=2a/3,(1)如图(2),当0。WaW30°时，在RtAADE中，DE=ADtga=2y/3tga在RtAADE中，BF=ABtg(60°-6Z)=2/g(60°-6z)•:S,de=^ADDE=6曲，BF=2tg(60°-a)・・S二S矩形肋cd一Smde一Smbf=4^3-6tg6z-2r^(60°-6z)(2)如图(3),当30°

3、中，BE=ABctga=2ctga,在RtAABF中,BF=ABZg(60°-a)=2rg(60°-a)・•・EF=BE-BF=Ictga-2tg(60°—a):.S=-EFAB=2ctga-2tg(60°-a)综上所述,当0°WaW30°时，S=4a/3-6tga-2tg(60°-a)；当30°

4、C=90°,AC=BC=4,D是斜边AB的中点。把三角尺的直角顶点与D重合，当三角尺转动时,两直角边与AC、BC交于F、E,四边形CEDF的而积会不会随三角尺的转动而发生变化？若不变，求出它的面积；若变化，请说明理由。分析：由条件D是斜边AB的中点，容易想到连接CD,这样CD二BD。可以把ACDF看作是ABDE旋转而CE来。解:S四边形CEDF不变。连接CD,易证△BDE^ACDF,/.S^^CED/,.=SABCD=4像这种一个直角在直角三角形斜边上旋转的问题，利用图形旋转后，能组合成全等形，本题的解法很有代表

5、性。例3：如图（5）,ZAOB=90°,OP平分ZAOB,45°角的顶点与P重合，两边与射线0A交于点C、与射线0B交于点D,设OPnz,ACOD的周长为c,问当ZCPD旋转时，巴的值是否会发生变化？若不变，求出巴的值；若变化,CC请说明理由。分析：如图（5）,本题的图形口J以看作把例2的图形（如图4）拿掉ABED。所以只要把图（4）的图形还原即可,如图（6）o解：汁乎不变。作PE丄PC,交OB与E,作PF丄PO,交OB与F。易证：AFPE^AOPC,（即把AOPC旋转到△FPE）。・•・OC=EF,PC=PEIZ

6、CPD=ZDPE=45°・•・△CPD仝ZEPD・•・CD=DE,c=OF又PPF是等腰直角三角形，.汁孚二、与其他图形组合成相似形4例4：在RtAABC中，ZACB=90°,ctgA=-o一个三角尺的直角顶点3在斜边上，转动三角尺，两直角边与边AC、BC分别交于M、N（M与A、C不重合）。探究一：作AD丄BC于D。将三角尺的顶点与D重合，求证：无论三角尺如何旋转，如的值恒是彳。DN3分析：如图（7）,ZB=ZMCD,ZDNB=ZMDC,所以△BDN^ACDMo解:IZACB=90°,CD丄AB,・*.ZB=ZMC

7、D,VZMDN=90°,AZDNB=ZMDC・・・△BDNs△CDM,AB_4~BC~3本题可以看成把ZBDN旋转到ZCDM的位置，这样ZBDN被BC边截得的△BDN与ZCDM被AC边截得的ACDM相似。探究二：D是AB的中点，若三角尺顶点与D重合，B••处=竺屯B=DNBD问如的值是否仍然不变？若不变，请求出它的值；若变化，请简单说明理由。DN分析：按上题的思路，如图(8),作DE丄AB于D,交AC于E。同样ZBDN被BC边截得的△BDN与ZEDM被AC边截得的AEDM相似，从而使问题得以解决。WDM3十-z解：

8、——二—不殳。DN4VZACB=90°/.ZB=ZMED,・.・ZMDN=90°作DE丄AB于D,交AC于E,ED丄AB，,AZDNB=ZMDEDMEDABDN^AEDM,Z.——=——=tgA=DNBDADBCB_3AC~4探究三：D是AB上任意一点(与A、B不重合)，若三角尺顶点与D重合,问如的值是否仍然不变？若不变，请求出它的值；若变化，请简单说明理由