图形覆盖问题（宋凡忠）-凤凰数学

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1、“中考典型问题复习：从2008年中考题中寻招儿”专题系列.图形覆盖问题江苏省东海县实验屮学宋凡忠1.试题概述覆盖是人们最常听到和最容易理解的词，从现代汉语词典上得到的解释是：覆盖就是盖住或遮住.把这样一个人们熟知的词汇与初屮数学屮相关知识点有机结合编制成一些集操作、猜想、探究及应用为一体的开放性问题其至作为压轴题，以此考查学生对数学基本知识的掌握和运用水平，考杳数学归纳与表达能力、综合与发散的思维能力、探究创新能力等；让学生从覆盖着的图形屮，展现出不凡的数学智慧，使人耳目一新；此类题型在2008年全国各省、市的屮考试题中还不多见，只有江苏

2、省的四个市的中考试题中出现含有“覆盖”这个名词的图形覆盖问题的试题，是当然的屮考新亮点.但如果把图形重叠、图案镶嵌等也看作是图形覆盖问题的一种类型或变化，这在各省、市的中考试题中就不胜枚举了.2.试题例析下而仅从2008年江苏省屮考试卷屮选择几例最冇代表性的试题，进行该类问题基本解法的示例分析，据此希望达到分析并归纳图形覆盖问题的基本解答思路和方法的目的.（1）扇形覆盖问题例1（2008年南京市第16题）如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65。•为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器

3、台.•••解：设ZA两边与圆周交点分别为点B、点C,在弧BC上任取一点D,根据圆内接四边形性质定理，ZBDC二180°—65°二115°,则65°

4、全部覆盖这个圆•如此题中的3台监视器可都安装在点A处，也可将另两台安装在BC弧上除B、C以外的任意点处.用扇形覆盖正方形、矩形、菱形等多边形也是考虑圆心角.（2）单圆覆盖问题例2（2008年连云港市第25题）我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆•例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆.（1）请分别作出图1屮两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）;（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论（不要求证明）；（3）某地冇四个村庄E,F,G,H（其位置如图2所示），现拟建一个

5、电视信号屮转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此屮转站应建在何处？请说明理由.CCG一―。、、―49.8°L'、32.4°/53.8'<50.（?‘〜丄七0〉、/47・1：C）F'、、倂.8纟5・1：/"E324（图2）（1）如图所示：若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（•育角或钝角所对的边）为直径的圆.（3）此屮转站应建在△EFH的外接圆圆心处（线段EF的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点处）.理

6、由如下：解:（2）由ZHEF=ZHEG+ZGEF=47.8°+35.1°=82.9°,ZEHF=50.0°,ZEFH=47.1°,故是锐角三角形，所以其最小覆盖圆为的外接圆，设此外接圆为。0,直线EG与00交于点E,M,所以小转站建在的外接圆圆心处，能够符合题屮要求.评析：这是一道方案设计题，为了使学生能顺利得到最终的设计方案，试题先给出最小覆盖圆的定义，接着设计了两个集操作、猜想、探索三位一体的过度题，使学生从覆盖圆的定义联想到课本上三角形的外接圆，也使学生的思维由最近发展区得到触发，再通过比较、归纳、猜想和探究，达到了新旧知识的交融和

7、思维能力的提升.最后，又将探究得到的结论直接应用于实际，使考生从一连串分析探究屮得到了成功的快感，儿个问题承上启下，一气呵成.此处学生容易错误地认为：“三角形的外接圆就一定是三角形的最小覆盖岡”，造成这一错误的根原在于学生对分类等数学思想的缺失.（3）多圆覆盖问题例（3）（2008年无锡市第28题）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km.现要求：在一边长为30kni的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市.问：（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设

8、的耍求？（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由.（下面给出了儿个边长