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1、问题一报纸销售问题若每份报纸的购进价为0.75元，零售价为1元，退回价为0・60元，需求量服从均值500份，均方差50份的正态分布，报童每天应购进多少报纸才能使平均收入最高。这个最高收入是多少？问题分析：不管求收入或者利润思路都是一样的，先列出收入（或利润）函数，其中包含定量无即购入报纸量，以及随机变量5即市场需求量。再利用5服从均值500份，均方差50份的正态分布求岀该收入（或利润）函数的期望，该函数为兀的代数方程式。最后求出这个函数的最大值（即最高平均收入（或利润）），以及对应此最高平均收入（或利润）的无值（即为此时的购入的报纸量）。模型的建立和
2、求解模型的建立：1.报纸需求量服从均值500份，均方差50份的正态分布，则〃〜N（500,50）,5的密度两数是p（3）=1(5-500)2]e2x502厉D502.每份报纸的购进价为0.75元，零售价为1元，退冋价为0.60元。模型的求解:1・求解最高平均利润，以及此时对应的x值:设购进报纸无份，则利润函数为0.25x,x<8I(x,J)=J0.25J-[0」5(x—/)]*S](6-500)2已知》〜N(500,50),p(5)=©-50,2x5o2,则利润函数的期望为E[/(x,5)]=£{0.25^-[0.15(x一5)]}p(6)dS+0.
3、25“(5)d》化简:0.4J8p{3)d8-Q.15xJ/?%+0.25兀J*p(8)d8・・(D使用Mathematica求解：第一步，画出利润函数的期望的一维图形。画出当矢(400,600)时(6,E[I(x0)])：(输入数据如下)Plot[0.4*Integrate[1/(Sqrt[2[Pi]]*50)*[ExponentialE]A-(x-500)A2/(2*2500)*x,{x,0,a}]-0.15*a*Integrate[1/(Sqrt[2[Pi]]*50)*[ExponentialE]A-(x-500)人2/(2*2500)
4、,{x,0,a}]+0.25*a*Integrate[1/(Sqrt[2[Pi]]*50)*[ExponentialE]A-(x-500)人2/(2*2500),{x,a,+[Infinity]}],{a,400,600}1Shift+Enter得出图形：猜想1：图形为先增后减的图形，①的最大值对应的兀在450〜550Z间下面论证猜想1的正确性：当x=0时①＞=0,且①的图形当xg(0,400)时单调递增，且①当xg(600,A)时为单调递减.当xw(A,+oo)时①＜=0,则猜想②成立。1.当x=0时，代入①，则有E[I(O0)]=0.4J：
5、8p^d8—0.15xofp(8)d8+0.25x0p(8)d8=0—0+0=02.①当xe(0,400)时，①的图形为：(输入的数据如下)Plot[0.4*Integrate[1/(Sqrt[2[Pi]]*50)*[ExponentialE]A-(x-500)A2/(2*2500)*x,{x,0,a}]-0.15*a*Integrate[1/(Sqrt[2[Pi]]*50)*[ExponentialE]A-(x-500)人2/(2*2500),{x,0,a}]+0.25*a*Integrate[l/(Sqrt[2[Pi]]*50)*[E
6、xponentialE]A-(x-500)人2/(2*2500),{x,a,+[Infinity]}]{a,0,400}]输岀的图形为：1.①的当XG(400,2000)时，①的图形为：(输入的数据略)易得当x>2000吋，E[/(x,^)]<0,即购入多了则亏本。结合丄，2,3得出猜想②的正确。所以利润函数的期望最大值所对应的x在450〜550之间。第二步，在450〜550Z间解出x最大的近似值，再解出最佳购入报纸数。首先求解利润期望①最大时的尢值。具体方法是：对①求导，在xw(0〜1000)的范围内，用逼近法求出使①的导数为0时的x近似值，该值
7、即为所求。FindRootD[0.4*Integrate[l/(Sqrt[2[Pi]]*50)*[ExponentialE]A-(x-500)A2/(2*2500)*x?{x,0,a}]-0.15*a*Integrate[1/(Sqrt[2[Pi]]*50)*[ExponentialE]A-(x-500)人2/(2*2500),{x,0,a}]+0.25*a*Integrate[l/(Sqrt[2[Pi]]*50)*[ExponentialE]A-(x・500)人2/(2*2500),{x,a,4-[Infinity]}La]==0,S
8、hift+Enter得岀结果：{虻515・932}所以当兀趋近于515.932吋利润的期望取得最大值，因为该
