[精品]因子分析例题

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1、因子分析因子分析（FactorAnalysis）是主成分分析的推广，它也是从研究相关矩阵内部的依赖关系出发，把一些具冇错综复杂关系的变量归结为少数几个综合变量的一种多变量统计分析方法。第一节因子分析的基本思想首先我们看下面两个实际例了：例1.例1.某企业招聘•人才，对每位应聘者进行外貌、申请书的形式、专业能力、讨人喜欢的能力、自信心、洞察力、诚实、推销本领、经验、积极性、抱负、理解能力、潜在能力、实际能力、适应性等15个方血•的考核。这15个方面可归结为应聘-者的外露能力、讨人喜欢的能力、经验、专业能力4个方而，每

2、一方而称之为一个公共因子。企业可根据这4个公共因子的情况来衡量应聘者的综合水平。例2.例2.在企业经济效益的评价中，有经济效益的指标体系。通常这个指标体系有八项指标：固定资产利税率、资金利税率、销售收入利税率、资金利税率、固定资产产值率、流动资金周转夭数、万元产值能耗、全员劳动生产率等。这八项指标可概括为盈利能力、资金和人力利用、产值能耗三个方面。这三个方面在企业的生产经营活动屮为主要因子，起着支配作用，企业耍提高经济效益就要在这三个公共因子方血下功夫。因子分析的基本思想：是通过变量（或样品）的相关系数矩阵（对样品

3、是相似系数矩阵）內部结构的研究，找出能控制所有变量（或样站）的少数儿个随机变量去描述多个变量（或样晶）之间的相关（相似）关系，但在这里，这少数几个随机变量是不可观测的，通常称为因子。因了分析分为两类，即R型因了分析（对变量作因了分析），Q型因了分析（对样品作因了分析）。第二节第二节因子分析的数学模型1.1.模型（R型）设X=（州宀,…宀）为观察到的随机向量，尸二幽也,…九）是不可观测的向量。有州=«IIFI+・・・+%,“鬥”+斫兀2=°21片+…+°2"0”+匂Xp=竹1片+…+apmFm+ep即X=AF+g其中

4、*=（斫,…,称作误差或特殊因子。满足假设：1）mWp2）cov（F,g）=0,223）var（F）=Im,YaT（£）=diag（5，…，―,）。称坊为第i个公共因子，勺为因子载荷。因子分析与主成分的关系：联系：两者都可以看作逼近协方差矩阵为。差别：主成分分析的数学模型是一种变换，因子分析模型是描述X的协方差》的结构的一种模型。其次,主成分中呦唯一确定，但因子分析屮，每个因子的系数不是唯一的。与多变最回归分析不同，此处的变量”F是不町观测的。2.公共因了：因了载荷和变量共同度的统计意义。假定因子模型屮，所有变量和

5、因子都己标准化。(1)(1)因子载荷的统计意义设心=订+•••+©£“+◎i=l,…，pE（XiF,=工aikE（Fk厲）二工aik々巧）=勺K=1K=1由于%,Fj不相关，h.々m)=1即^ij=rXifi因了载荷勺是第i个变量与第j个公共因了的相关系数。mh：壬：.

6、兀⑵变蜃共同度的统计意义：闫()称作变量兀的共同度：var(x.)=工var(tz.Fy)+var(^.)var(Fy)+cr.2=工勺？+cr.2=h：+>17=1即1=hi+尤即共同度是公共因子所占的Xi的方差，其共同度越大，说明公共因子包含的

7、兀的信息就越多。(3)公共因了©的方差贡献的统计意义因子载荷矩阵中列的平方和。PSJ=XaU/=!称巧为公共因了厲对兀的贡献,是衡址公共因了札I对重要性的指标。第三节第三节因子载荷的估计方法这是常用的主成分法，设随机向量x=(儿…丿丿的协方差为工，工的特征值为A,>A2>0其相应的特征向量为勺，勺，…％，(标准正交基)贝IJ：応Ud边仏，…,易”*工牝盯=(扬即…，庄丿(阿盯，…，莎Q/=1当公共因子刁有P个时，特殊因子为0,所以，X=AFA为因子载荷阵。因此，=var(AF)=Av^(F)A'=AA'所以，z=A

8、A*,因此,A为(頁e'…‘颯5),所以，A=(販s，・・•，松所以第j列因了载荷为第j个主成分勺与J石的乘积。所以称为主成分法。当最后"一m个特征根很小时，去掉飒'…'打。此时，A=(頁J,…，城ej,方差》=人4'+辽.=(/^1，…,丽7务)(扬勺‘,…,J^Ts')'+diag(62,…Q；)AA另外，当E未知时，用样木协方差$代替E,或样木相关阵/?代替。i般设人、…为样木相关阵/?的特征根，相应的标准正交化特征向最为名，…,-。设m£P,则因子载荷阵的估计为A=(岛)即a=，…,7X&)第四节第四节因

9、子旋转建立因了分析数学模型的冃的不仅是为了找出公共因了，更重要的是要知道每个公共因了的意义，以便对实际问题进行分析。如果每个公共因子的涵义不清，不便于对实际背景进行解释，这时根据因子载荷阵的不唯一性，可对因子载荷阵实行旋转，即用一个正交阵右乘使旋转后的因子载荷阵结构简化，便于对公共因子进行解释。所谓结构简化就是使每个变量仅在一个公共因子上有较大的载荷，而在其