函数值域、定义域、参数范围的互解

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1、函数值域、定义域、参数范围的互解学生对有关值域的题目，特别是已知值域，反求函数中的参数的题目往往理解不深，特别是与可能与不等式恒成立混为一谈，现在通过几个具体的题目帮助同学们理解这个问题。【例1】的值域为，求的取值范围。【解析】只要能取到上的任意实数。因此，【例2】的值域为，求的取值范围。【解析】只要值域为，∴【例3】的值域为，求的取值范围。【解析】只要值域为，∴【例4】的值域为R，求的取值范围。【解析】时，，不合题意。　时，只要能取所有正数　∴且，解得【例5】的值域为，求的取值范围。【解析】只要的值域为，∴，且。解得【例6】的值域为，求实数的取

2、值范围。【解析】由题意只要能取到上任意一个实数，即能取到上任意一个实数，即能取到上任意一个实数。因此只要函数的图像与轴相交或相切。即解得：或【例7】的值域为，求实数的取值范围。【解析】只要的值域为，即的值域为，即的值域为，因此只要函数的图像与直线相切。即，只要解得：或【思考】你注意到有的例题分析时用了能取到某个范围内的任意实数，有的例题用了值域是某个范围，这是为什么呢？定义域和值域的逆向问题，是数学中的常见问题，解决好此类问题，可以锻炼同学们的逆向思维能力，因此要重视此类问题的解决。一、已知定义域求值域【例】求定义域在［-1，1］上的函数的值域。

3、【解析】函数式变形为，显然y≠-1由原函数表达式可得又，得解得∴函数值域为二、已知值域求定义域【例】函数值域是，求此函数的定义域。【解析】由，解得由，解得∴函数定义域为【注】此题直接由函数值域得出表达式的不等式，进而求得定义域，同时还可以利用反比例函数图象直观地得出结论，同学们不妨试一试。三、已知定义域求解参数问题【例】已知函数的定义域为R，求实数a的取值范围。【解析】由题意知时，恒成立（1）当且时，有a=1，此时f(x)=1，显然对时，恒成立（2）当时，有解得综上，当时，使得有意义的a的取值范围是［1，9］【注】此问题转化为不等式恒成立问题，但

4、要注意二次函数的二次项系数为字母时的分类讨论。四、已知值域求解参数问题【例】已知函数的值域为［1，3］，求a、b的值。【解析】由题意知，把原函数变形为当时，满足题意。当时，因，所以即又，所以1和3是方程的两个实根，由韦达定理解得【注】解决此问题的关键在于把求值域的问题和解一元二次不等式的问题联系起来，最后通过比较同解不等式的系数，列方程求出参数的值。五、已知定义域和值域求解参数问题【例】已知满足条件，，且方程有两个相等实根。是否存在实数，使得的定义域为［m，n］时，值域为［3m，3n］。如果存在，求出m、n的值；如果不存在，请说明理由。【解析】因

5、，所以函数的图象的对称轴为直线。=1，可得①由，得②因方程有两个相等实根，即有相等实根，所以③将①代入②，得由③知，b=1，所以则∴，即在［m，n］上单调递增，假设存在满足条件的m、n，则解得又，则m=-4，n=0，即存在m=-4，n=0满足条件【注】解决定义域和值域共存问题时，不要盲目进行分类讨论，而应从条件出发，分析和探讨出解决问题的途径，确定函数的单调性，从而使问题得以解决。练一练：1.求下列函数的值域：①②③。2.求函数的最大值。答案：1.①提示：，而，所以可得另外，原函数变形为，因，所以即且②提示：而，所以③提示：因，所以另外，令，则，

6、所以，也可能2.提示：，所以，当，即时，y取最大值