第3章 平均数、标准差与变异系数

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1、第三章平均数、标准差与变异系数第一节平均数下一张主页退出上一张平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。平均数主要包括有：算术平均数（arithmeticmean）中位数（median）众数（mode）几何平均数（geometricmean）调和平均数（harmonicmean）下一张主页退出上一张一、算术平均数算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数，记为。算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。(一)直接法主要用于样本含量n≤30以下、未经分组资料平均数的计算。下一张主页退出上一张设

2、某一资料包含n个观测值：x1、x2、…、xn，则样本平均数可通过下式计算：（3-1）其中，Σ为总和符号；表示从第一个观测值x1累加到第n个观测值xn。当在意义上已明确时，可简写为Σx，（3-1）式可改写为：下一张主页退出上一张【例3.1】某种10瓶饮用水的重量分别为500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（g），求其平均数。由于Σx=500+520+535+560+58+600+480+510+505+49=5285，n=10下一张主页退出上一张得：即10瓶饮用水的平均重量为528.5g。（二）加权法对于样本含量n≥30以上且已分组的资料

3、，可以在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算公式为：（3-2）下一张主页退出上一张式中：—第i组的组中值；—第i组的次数；—分组数第i组的次数fi是权衡第i组组中值xi在资料中所占比重大小的数量，因此将fi称为是xi的“权”，加权法也由此而得名。【例3.2】将100棵苹果树次年的产量（单位：kg）资料整理成次数分布表如下，求其加权数平均数。下一张主页退出上一张表3—1100棵苹果树次年的产量次数分布表下一张主页退出上一张利用（3—2）式得：即这100棵苹果树次年的产量为45.2kg。计算若干个来自同一总体的样本平均数的平均数时，如果样本含量不等，也应采用加权法计算。下

4、一张主页退出上一张【例3.3】某牛群有黑白花奶牛1500头，其平均体重为750kg，而另一牛群有黑白花奶牛1200头，平均体重为725kg，如果将这两个牛群混合在一起，其混合后平均体重为多少？此例两个牛群所包含的牛的头数不等，要计算两个牛群混合后的平均体重，应以两个牛群牛的头数为权，求两个牛群平均体重的加权平均数，即下一张主页退出上一张即两个牛群混合后平均体重为738.89kg。（三）平均数的基本性质1、样本各观测值与平均数之差的和为零，即离均差之和等于零。或简写成下一张主页退出上一张2、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，即离均差平方和为最小。(xi-)2<(xi-a)

5、2（常数a≠）或简写为：<对于总体而言，通常用μ表示总体平均数，有限总体的平均数为：（3-3）式中，N表示总体所包含的个体数。下一张主页退出上一张二、中位数将资料内所有观测值从小到大依次排列，位于中间的那个观测值，称为中位数，记为Md。当观测值的个数是偶数时，则以中间两个观测值的平均数作为中位数。当所获得的数据资料呈偏态分布时，中位数的代表性优于算术平均数。中位数的计算方法因资料是否分组而有所不同。下一张主页退出上一张（一）未分组资料中位数的计算方法对于未分组资料，先将各观测值由小到大依次排列。下一张主页退出上一张1、当观测值个数n为奇数时，(n+1)/2位置的观测值，即x(

6、n+1)/2为中位数：Md=2、当观测值个数n为偶数时，n/2和（n/2+1）位置的两个观测值之和的1/2为中位数，即：（3-4）下一张主页退出上一张【例3.4】观察得9只西农莎能奶山羊的妊娠天数为144、145、147、149、150、151、153、156、157，求其中位数。此例n=9，为奇数，则：Md==150（天）即西农莎能奶山羊妊娠天数的中位数为150天。下一张主页退出上一张【例3.5】某水果不易保存，观察得10只水果仔犬发现症状到腐烂变质分别为7、8、8、9、11、12、12、13、14、14天，求其中位数。此例n=10，为偶数，则：(天)即10只水果仔犬发现症

7、状到腐烂变质的中位数为11.5天。（二）已分组资料中位数的计算方法下一张主页退出上一张若资料已分组，编制成次数分布表，则可利用次数分布表来计算中位数，其计算公式为：（3—5）式中：L—中位数所在组的下限；i—组距；f—中位数所在组的次数；n—总次数；c—小于中数所在组的累加次数。下一张主页退出上一张【例3.6】某奶牛场68头健康母牛从分娩到第一次发情间隔时间整理成次数分布表如表3—2所示，求中位数。表3—268头母牛从分娩到第一次发情间隔时间次数分布表下一张主页退出上一张由表3—2可见：i=15，n=6