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1、初中数学二次函数知识点汇总及习题解析L定义与定义表达式—般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系:y=axA2+bx+c(azbzc为常数，aHO,且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上,a<0时,开口方向向下」al还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小」al越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。II.二次函数的三种表达式—般式：y=axA2+bx+c(a,b,c为常数，a/0)顶点式:y二a(x-h)人2+k［抛物线的顶点P(h,k)］交点式:y=a(x-x1)(x-x2)［仅限于
2、与x轴有交点A(X】，0)和B(x?,0)的抛物线］注：在3种形式的互相转化中,有如下关系：h=・b/2ak=(4ac-bA2)/4axlzx2=(-b±VbA2-4ac)/2aIIL二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=xA2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。IV・抛物线的性质1抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=・b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点Po特别地，当b二0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2抛物线有一个顶点P,坐标为：P（-b/2a,（4ac-bA2）/4a）^-b/2a=0
3、时，P在y轴上；当A=bA2-4ac=0时，P在x轴上。3.二次项系数a决走抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线向上开口；当av0时，抛物线向下开口。
4、a
5、越大z则抛物线的开口越小。4.一次项系数b和二次项系数a共同决走对称轴的位置。当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0,c）&抛物线与x轴交点个数A=bA2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。A=bA2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。A=bA2-4ac<0时
6、，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-b±VbA2・4ac的值的相反数，乘上虚数i,整个式子除以2a)V.二次函数与一元二次方程特别地，二次函数(以下称函数)y二axT+bx+c,当y=0时二次函数为关于x的一元二次方穩以下称方程)很卩axT+bx+c二0此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。1.二次函数y=axA2zy=a(x-h)A2,y=a(x-h)A2+k,y=axA2+bx+c(各式中za^O)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：解析式顶点坐标对称
7、轴y=ax*2(0,0)x=0y=a(x-h)*2(h,0)x=h尸a(x-h)*2+k(h,k)x=hy=ax'2+bx+c~b/2a,[4ac-b*2]/4ax"b/轨询当h>0时，y=a(x-h)A2的图象可由抛物线y=axA2向右平行移动h个单位得到，当h<0时,则向左平行移动
8、h
9、个单位得到・当h>0/k>0时z将抛物线y=axA2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y二a(x・h)八2+k的图象；当h>0zk<0时，将抛物线y=axA2向右平行移动h个单位，再向下移动
10、k
11、个单位可得到y=a(x-h)A2
12、+k的图象；当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动
13、h
14、个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)A2+k的图象;当h<0zk<0时，将抛物线向左平行移动
15、h
16、个单位，再向下移动
17、k
18、个单位可得到y=a(x-h)A2+k的图象;因此，研究抛物线y二axT+bx+c(aHO)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)A2+k的形式,可确走其顶点坐标、对称轴z抛物线的大体位置就很清楚了・这给画图象提供了方便・2•抛物线y二axT+bx+c(aHO)的图象：当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下，对称轴是直线x二・b/2a,
19、顶点坐标是(・b/2a,[4ac-bA2]/4a).3・抛物线y=axA2+bx+c(a^0),若a>0,当x<-b/2a时，y随x的增大而减小；当x>-b/2a时，y随x的增大而增大•若a<0,当x<-b/2a时，y随x的增大而增大；当x>-b/2a时，y随x的增大而减小.4・抛物线y=axA2+bx+c的图象与坐标轴的交点：⑴图象与y轴一定相交，交点坐标为(0,c);⑵当A=bA2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(xi,0)和B(x2,0),其中的xl,x2是一元二次方程axT+bx+c二0(a#0)的两根.这两点间的距离AB
20、=
21、x2-Xi
22、当△二0.图象与x轴只有一个交点;当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0;当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，者0有y<0.5•抛物线y=axA2+bx+c
