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《精编高中数学总复习资料全书---空间向量在立体几何中的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、空间向量在立体几何中的应用目录一.空间直角坐标系31・单位正交基底32・空间直角坐标系33・点的坐标34・常见空间直角坐标系的建立3二、向量的直角坐标坯算4三、直线的方向向量5四、平面法向量5五、证明平行问题61・证明线线平行62・证明线面平行73・证明面面平行8六、证明垂直问题91.证明线线垂直92・证明线面垂直103・证明面面垂直11七、夹角121・求线线夹角122.求线面夹角163・求面面夹角18八、距离241・求点点距离242・求点线距离253・求点面距离264・求线线距离285・求线面距离316・求面面距离32九、面积与体积321・面积322・体积33十.立体几何高考试题总汇33
2、一、空间直角坐标系1.单位正交基底如果三个向量方，b,2不共面，那么所有空间向量所组成的的集合就是{pp=xa+yb-^-zc,x,y,zg/?}，这个集合可以看作是由a,b,c生成的，从而把{a.b.c}称为空问的一个基底，a,b.2叫做基向量.如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且模为1,则这个基底叫做单位正交基底,通常用［ij^k］表示.2.空间直角坐标系在空I'可选一点o和一个单位正交基底用,以点o为原点，分别以7,Z的方向为正方向建立三条数轴兀轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O—xyz,点0叫做原点，7,Z叫做坐标向塑，通过两条坐标轴的平而叫
3、作坐标平而.如图，通常使用的是右手直角坐标系•兀轴、y轴、z轴又称为横轴、纵轴、竖轴.3.点的坐标在空间直角坐标系屮，对空间任一点A对应一个向ftOA,于是存在唯一的有序实数组,0A=xi+yj+zk,则有序实数组(兀,y,z)叫做点4在此空间直角坐标系中的坐标,其中X、八z分别叫做点A的横坐标、纵坐标、竖坐标.4.常见空间直角坐标系的建立①正方体如图所示，正方体ABCD-A'BCD的棱长为一般选择点D为原点，DA.DC、DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz,则各点坐标为A(a,0,0),B(a,ci,0),C(0,a,0),£)(0,0,0),A‘(a,0,a)
4、,Ba,a,a),C‘(0,d,d),£)*(0,0,tz).亦iij选A点为原点.在长方体中建立空间直角坐标系与Z类似.①正四面体如图所示，正四面体A-BCD的棱长为—般选择4在口BCD上的射影为原点，OC、0D（或0B）、04所在直线分别为无轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz,则各点坐标为A（0,0,—tz）,362C（―—67,0,0）,Z）（———a,-a,0）.362②正四棱锥如图所示，正四棱锥P-ABCD的棱长为一般选择点P在平面ABCD的射影为原点，04（或OC）、OB（或OD）、OP所在直线分别为兀轴、y轴、z轴建立空I'可直角坐标系O-xyz,则各点坐标为,0,
5、0），3（0,令,0）C（—务0,0）,D（0,--^,0）,P（0,0，¥d）.③正三棱柱如图所示，正三棱柱ABC-A'B'C'的底而边长为a,高为力，一般选择AC中点为原点，OC（或04）、OB、OE（E为O在AC’上的射影）所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz,则各点坐标为4（一丄a,0,0）,5（0,73,0）,C（丄a,0,0）,22A〔一丄a,0,h）,C〔丄a,0,/i）.22二、向量的直角坐标运算y设0=（4卫2卫3）‘b=（b“bjbJ,则d+/?=（d
6、+也卫2+仇，。3+〃3）；a_b=（a、_a?_by込_bj；加=（加［，加2,加3）（久WR
7、）axb=a•b=a血+砂2+。診3=
8、a
9、・
10、b
11、・cos；kd=(aR-a/Ji+(ab-a/Jj+(a®-jbjk；2Iaxb=^(ayb:-azby)2+(azbx-axbz)2+{axby-aybx)2=a-b-sin；—―。—*2—*2—*—*0(AXB)?*B-(AB)2；a!ll)0ci、="[,o,=怂(久丘7?)或a//b<^—=—二鱼或axb=O；Sb2b3a±boab=a血+a2b2+a3b3=0.设A(兀]，x，Z])‘B(x2,y2,z2),则AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x^y],zi)=(x2-x].y2-y],z2-z]).
12、这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.若片（西，开）出（兀2，为），人（兀3』3）三点共线则兀2力1=0-三、直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图，在空间直角坐标系中，由A（兀
13、，x，zJ与B（x2,y2,z2）确定直线AB的方向向量是AB=(x2-xi,y2-yl,z2-zi).四、平面法向量如果d丄G,那么向量d叫做平面G
