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《【精品】时间序列分析方法第06章谱分析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第六章谱分析SpectralAnalysis到目前为止，(时刻变量乙的数值一般都表示成为一系列随机扰动的函数形式，一般的模型形式为：00Y,=“+1>灼7/=0我们研究的重点在于，这个结构对不同吋点/和厂上的变量乙和｝;的协方差具有什么样的启示。这种方法被称为在时I'可域(timedomain)上分析时间序列｛乙｝蔦的性质。在本章中，我们讨论如何利用型如cos(ef)和sin(Qf)的周期函数的加权组合来描述吋间序列乙数值的方法，这里①表示特定的频率，表示形式为：Yj=/j+a｛co)cos｛cot)dco+<5(69)s(cot)da)
2、上述分析的目的在于判断不同频率的周期在解释时间序列｛乙｝蔦性质吋所发挥的重要程度如何。如此方法被称为频域分析(frequencydomainanalysis)或者谱分析(spectralanalysis)o我们将要看到，时域分析和频域分析之间不是相互排斥的，任何协方差平稳过稈既有时域表示，也有频域表示，由一种表示可以描述的任何数据性质，都可以利用另一-种表示来加以体现。对某些性质来说，时域表示可能简单一些；而对另外一些性质，可能频域表示更为简单。§6」母体谱我们首先介绍母体谱，然后讨论它的性质。6.1.1母体谱及性质假设｛人｝蔦是一个具有均值
3、“的协方差平稳过程，笫丿•个自协方差为:=cov(yz,Yt_j)=E[(Yt-“)(.j-//)]假设这些自协方差函数是绝对可加的，则自协方差生成函数为：+O0gy(z)=5>〃丿这里z表示复变量。将上述函数除以2龙，并将复数Z表示成为指数虚数形式z=exp(-z^),z=V^T,则得到的结果(表达式)称为变量丫的母体谱：11+O0Sy(^)=—Sy(e~^)=—DjQ®2兀171j=Y0注意到谱是①的函数：给定任何特定的“值和自协方差人的序列｛厂｝蔦，原则上都可以计算％(初的数值。利用DeMoivre定理，我们可以将厂®表示成为：el(,
4、)i=cos(o>j)一isin(ej)因此，谱函数可以等价地表示成为：1+00sY((o)=—工乙[cos(Qj)-isin(Q」)]2兀J=-00+00X/j[cos(ej)+cos(-eyj)-isin(Qj)-isin(-coj)]J=l注意到对于协方差平稳过程而言，有：7i=y_j,因此上述谱函数化简为:sY(co)=—/()[cos(O)一isin(O)]+—<271271利用三角函数的奇偶性，可以得到：♦00%+2工人cos（砒）>冃假设自协方差序列是绝对可加的，则可以证明上述谱函数片（劲存在，并且是⑵的实值、对称、连续函数。由
5、于对任>s；2/rk,有：》0+2族）=»0）,因此是周期函数，如果我们知道了［0,7V］内的所有片（劲的值，我们可以获得任意0）时的片（劲值。§6.2不同过程下母体谱的计算假设随机过程｛匕｝蔦服从MA（oo）过程：yf=〃+0（d®这里：g00［CF2$=/屮（L）=Z屮芒，工l/lvdE（w$）=｛，y=0j=0［0,S丰t根据前面关于AM（oo）过程自协方差生成函数的推导：gy（z）wp⑵肖（广）因此得到M4（oo）过程的母体谱为：1°旳（Q）=二~b屮（严）肖（严）2龙例如，对白噪声过程而言，卩（込）=1,这时它的母体谱函数是常数：2
6、旳（◎=下面我们考虑必⑴过程，X=£+叽1此时：0（z）=l+Oz,则母体谱为：sY（co）=一cr2（l+0严）（1+0e,（o）2”=—）］2兀显然，当0>0时，谱函数》（劲在［0,刊内是血的单调递减函数；当0<0时，谱函数SyS）在［0,龙］内是Q的单调递增函数。对AR⑴过程而言，有：乙=c+0乙_1+5这时只要101<1,则有：p（z）=l/（l—0z）,因此谱函数为：/、1L1CF2Sy（CO）=::—=::—271（1一0厂"°）（1
7、一0”0）2兀（1一0八①_如9+02）2龙［1+/_20COS（69）］该谱函数的性质为：当0>0时,谱函数旳@）在［0,刃内是ty的单调递增函数;当0<0时,谱函数（69）在［0,兀］内是69的单调递减函数。一般地，对过程而言：Yf=C+0
8、Y_i+02岭-2+…+0必・“+€t+&1弘1+&2為一2+•••+©%则母体谱函数为：十（1+0］广沏+02广加+・・・+0广也）•S'v（C0）=:7T:2兀（1-0&W-0200〃厂""）（1+&0"+&2严”+•••+&/%）X1IQ_机严_（!）2严30/,»皿）如果移动平均和口回归算子多
9、项式可以进行下述因式分解：1+妝+妝2+•••+©/'=（1-〃忆）（1一〃2"・・（1一〃/）］_0忆_02尹如利=（1_2忆）（1_久2乙）…（1_心2）则母体
