高等数学12-01

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1、微分方程第十二章—积分问题—微分方程问题推广1湘潭大学数学与计算科学学院王文强微分方程的基本概念第一节微分方程的基本概念引例几何问题物理问题2湘潭大学数学与计算科学学院王文强解一、问题的提出3湘潭大学数学与计算科学学院王文强解4湘潭大学数学与计算科学学院王文强代入条件后知故开始制动到列车完全停住共需5湘潭大学数学与计算科学学院王文强微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.二、微分方程的定义6湘潭大学数学与计算科学学院王文强微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的

2、最高阶导数的阶数称之.分类1:常微分方程,偏微分方程.一阶微分方程高阶(n)微分方程分类2:7湘潭大学数学与计算科学学院王文强微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.微分方程的解的分类：三、主要问题--求方程的解(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.8湘潭大学数学与计算科学学院王文强(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.解的图象:微分方程的积分曲线.通解的图象:积分曲线族.初始条件:用来确定任意常数的条件.9湘潭大学数学与计算科学学院王文强过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线

3、的斜率为定值的积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.10湘潭大学数学与计算科学学院王文强解11湘潭大学数学与计算科学学院王文强所求特解为补充:微分方程的初等解法:初等积分法.求解微分方程求积分(通解可用初等函数或积分表示出来)12湘潭大学数学与计算科学学院王文强求所满足的微分方程.例4.已知曲线上点P(x,y)处的法线与x轴交点为Q解:如图所示,令Y=0,得Q点的横坐标即点P(x,y)处的法线方程为且线段PQ被y轴平分,P263(习题12-1)1;2(3),(4);3(2);4(2),(3);6作业与练习13湘潭大学数学与计算科学学

4、院王文强微分方程；微分方程的阶；微分方程的解；通解;初始条件；特解；初值问题；积分曲线．四、小结本节基本概念：14湘潭大学数学与计算科学学院王文强思考题15湘潭大学数学与计算科学学院王文强思考题解答中不含任意常数,故为微分方程的特解.16湘潭大学数学与计算科学学院王文强练习题17湘潭大学数学与计算科学学院王文强18湘潭大学数学与计算科学学院王文强练习题答案19湘潭大学数学与计算科学学院王文强