高三数学排列组合典型例题及习题

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1、典型例题及习题第一章计数原理11.1分类加法原理与分步乘法计数原理11.2排列与组合51.3二项式定理13第二章数学归纳法162.1数学归纳法162.2真题链接262.3模拟训练31第一章计数原理1.1分类加法原理与分步乘法计数原理题型一分类加法计数原理例I、如图，A.B、C、D为四个村庄，要修筑三条公路，将这四个村庄连接起来，则不同的修筑方案共有种・解析修筑方案可分为两类：一类是“折线型”，用三条公路把四个村庄连在一条曲线上（如图⑴，A—B—C—D）,有*A；种方法；一类是“星型”，以某一个村庄为中心，用三条公路发散状连接其他三

2、个村庄（如图（2）,A_B,A-CfA-D）有4种方法.共有12+4=16种方法.答案20例2、若甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天口每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有种.解析分三类：甲在周一，共有Ai种排法；甲在周二，共有A#种排法；甲在周三，共有A孑种排法；/.民+A孑+A孑=20.答案20例3、如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是.解

3、析长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6X6=36个，另含4个顶点的6个面（非表面）构成的“平行线面组”有6X2=12个，共36+12=48个.答案48变式练习：1、从集合U={a,b,c,叭的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：(1)0,U都要选出；(2)对选出的任意两个子集/和必有A^B或力二必那么，共有种不同的选法.解析将选法分成两类.第一类：其中一个是单元素集合，则另一集合为两个或三个元素且含有单元素集合中的元素，有C】X6=24(种).第二类：其中一个是两个元素集合，则另一个是含有这两个元素的三元素集合，

4、有CiX2=12(种).综上共有24+12=36(种).答案362、8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛,每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3、4名，大师赛共有场比赛.解析小组赛共有2C?场比赛；半决赛和决赛共有2+2=4场比赛；根据分类计数原理共有2&+4=16场比赛.答案163.己知集合A={alfQ2，g，血}，5={0,1,2,3}，f是从/到B的映射.(1)若〃中每一元素都有原象，这样不同的/有多少个？(2)若3中的元素0无原象，

5、这样的/有多少个？⑶若/满足.@

6、)+.血2)+如3)+弘4)=4,这样的/又有多少个？解(1)显然对应是一一对应的，即⑦找象有4种方法，°2找象有3种方法，°3找象有2种方法，血找彖有1种方法，所以不同的/共有4X3X2X1=24(个).(2)0无原象，1,2,3有无原象不限，所以为力中每一元素找象时都有3种方法.所以不同的/共有3°=81(个).(3)分为如下四类：第一类，A中每一元素都与1对应，有1种方法；第二类，力中有两个元素对应1,一个元素对应2,另一个元素与0对应，有种方法；第三类，/中有两个元素对应2,另两个元素对应

7、0,有C?&=6种方法；第四类，力中有一个元素对应1,一个元素对应3,另两个元素与0对应，有C,C]=12种方法.所以不同的/共有1+12+6+12=31（个）・题型二分布乘法计数原理例1、如图，用6种不同的颜色把图中/、B、C、Q四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有解析从/开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D、/同色1种，D、/不同色3种，・•・不同涂法有6X5X4X(14-3)=480^.答案480例2、三个人踢锂，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，窿又被踢回给甲，则不同的传递

8、方式共有种.解析如图，甲传给乙时有5种情况；同理，甲传给丙也可以推出5种情况，综上有10种传法.例3、将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设M（i=l,2,3）表示第，行中最大的数，则满足N}

9、，要求每一行从左到右依次增大，每列从上到下也依次增大，当数字4固定在中心位置时，则所有填写空格的方法共有种.解析必有1、4、9在主对角线上，2、3只有两种不同的填法，对于它们的每一种填法，5只有两种填法.对于5的每一种填法，6、7、8只有3种不同的