1蒙特卡罗方法概述

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1、2.3.4.蒙特卡罗方法的主要应用范围第_章蒙特卡罗方法概述蒙特卡罗方法的基本思想蒙特卡罗方法的收敛性，误差蒙特卡罗方法的特点＞作业第一章蒙特卡罗方法概述蒙特卡罗方法又称随机抽样技巧或统计试验方法。半个多世纪以来，由于科学技术的发展和电子计算机的发明，这种方法作为一种独立的方法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了应用。蒙特卡罗方法是一种计算方法，但与一般数值计算方法有很大区别。它是攻糊率统计理论为基础h勺一神方法。由于蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而该方法的应用领域日趋广泛。1.蒙特卡

2、罗方法的基本思想二十世纪四十年代中期，由于科学技术的发展和电子计算机的发明，蒙特卡罗方法作为一种独立的方法被提出来，并首先在核武器的试验与研制屮得到了应用。但其基本思想弄非新颖，人们在生产实践和科学试验中就已发现，卄加以利用。＞两个例子例1.蒲丰氏问题例2.射击问题（打靶游戏）＞基本思想＞计算机模拟试验过程例1•蒲丰氏问题为了求得圆周率兀值，在十九世纪后期，有很多人作了这样的试验：将长为2/的一根针任意投到地面上，用针与一组相间距离为2°(Z

3、一其中N为投计次数，〃为针与平行线相交次数。这就是古典概傘论中著名的蒲丰氏问题。一些人进行了实验，其结果列于下表:实验者年份投计次数兀的实验值沃尔弗(Wolf)185050003.1596斯密思(Smith)185532043.1553福克斯(Fox)189411203.1419拉查里尼(Lazzarini)190134083.1415929例2•射击问题（打靶游戏）士一垄序示射击运动员的弹着点到靶心的距离，乡（厂）表不击中厂处相应的得分数（环薮），厂）另该运动员的尊莖舟旳龙鱼輩屋理答它反映运动员的射击水平。该叵动贝的射击成绩为<«?>=『g（厂）/（

4、厂）力、用概率语言来说，Vg>是随机变量乡（厂）的数学期望，即vg〉=巩?（厂）］现假设该运动员进行了N次射击，每次射击的弹着点侬次为厂厂S，…，rN,则N次得分g（p）,g（厂2），…，g（R的算术平均值]NI臣r爭⑴代表了该运动员的成绩。换言之，为积分Vg＞的估计值，或证应值。在该例中，用N次试验所得成绩的算术平均值作为数学则量vg＞的]占计值（积分近似值）。由以上两个例子可以看出，当所求问题的解是某个事件的概率，或看是某个随机变量的薮学期望，衣者是与概率、数学期望有关的量时，通过某种试验的方法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干个具体观察值

5、的算术平均值，通过它得到问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。当随机变量的取值仅为1或0时，它的数学期望就是某个事件的概率。或者说，某种事件的概率也是随机变量（仅取值为1或0）的数学期望。因此，可以通俗地说，蒙特卡罗方法是用随机试验的方法计算积分，即将所要计算的积分看作服从某利1分希密麼函跖（厂）的随机交量乡（疵勺数学期坦=[g（r）f（r）6?r通过某种试验，得到N个观察值卩，畑•・•'5（用概率语言来说，从分布密度函数f（厂）中掃取N个子样卩，厂2，…，5,）,将相应的N个随机变量的值g（r7）,g（厂2），…，g（S）的算术平均值1NI"

6、诗⑴作为积分的估计值（近似值）。为了得到具有一定精确度的近似解，所需试验的次数是很多的，通过人工方法作大量的试验相当困难,甚至是不可能的。因此，蒙特卡罗方法的基本思想虽然早已被人们提出，却很少被使用。本世纪四十年代以来，由于电子计算机的岀现，使得人们可以通过电子计算机来模拟随机试验过程，把巨大数目的随机试验交由计算机完成，使得蒙特卡罗方法得以广泛地应用，在现代化的科学技术屮发挥应有的作用。计算机模拟试验过程计算机模拟试验过程，就是将试验过程（如投针,射击）化为数学问题，在计算机上实现。以上述两个问题为例，分别加以说明。例1.蒲丰氏问题例2.射击问题（打

7、靶游戏）由上面两个例题看出，蒙特卡罗方法常以」个“概率模型”为基础，按照它所描述的过程，使用由已知分希抽样的方法，得到部分试验结果的观察值，求得问题的近似解。AIV例1・蒲丰氏问题设针投到地面上的位置可以用一组参皴（X,。）来描述，X为軒中心的座标，〃为卡十与平行线的夹角，如图所示。任意投针，就是意味着兀与&都是任意取的，但X的范围限于[0,q],夹角〃的范围血于[0,兀]。在此情况下，针与平行线相交的数学条件是x

8、在［0，a上任意取值，表示兀在［0,上是均匀分布的，其分布密度函数为：因此,产生任意的（材）