现代设计方法--鲍威尔法-powell法

《现代设计方法--鲍威尔法-powell法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、§5.4.3鲍威尔法（Powell法）两次平行搜索产生一个共轭方向，Powell法也是一种共轭方向法，能在有限步长内极小化一个二次函数，是直接搜索方法中使用效果最佳的一种方法。对于维数n<20的目标函数求最优化问题，此法可获得满意效果。Ⅰ、鲍威尔法基本原理、迭代格式原始的Powell法是沿着逐步产生的共轭方向进行一维搜索的。现以二维二次目标函数为例来说明。如下图所示，选定初始点X0(1)，初始方向：S1(1)=e1=[1,0]TS2(1)=e2=[0,1]T模式方向S(1)与S(2)之间的关系？由图可知点X0(2)、X2(2)是先后两次

2、沿S(1)方向一维搜索的极小点。由共轭性质知：连接X0(2)，X2(2)构成的矢量S(2)与S(1)对H共轭。从理论上讲，二维二次正定函数经过这组共轭方向的一维搜索，迭代点已达到函数的极小点X*。将此结构推广至n维二次正定函数，即依次沿n个（S(1)，S(2)，…，S(n)）共轭方向一维搜索就能达到极小点。Ⅱ、鲍威尔法缺陷当某一循环方向组中的矢量系出现线性相关的情况（退化、病态）时，搜索过程在降维的空间进行，致使计算不能收敛而失败。为了避免此种情况产生，提出了修正的Powell法。新一轮搜索方向新一轮搜索方向和原方向线性相关为了避免鲍威

3、尔法缺陷，提出了修正算法。Ⅲ、修正Powell法映射点和原始Powell法的主要区别在于：在构成第k+1次循环方向组时，不用淘汰前一循环中的第一个方向S1(k)的办法，而是计算函数值并根据是否满足条件计算：f1=f(Xk(0))f2=f(Xk(n))f3=f(Xk(n+2))找出前一轮迭代法中函数值下降最多的方向m及下降量△m，即：△m=max｛[f(Xk(i))－f(Xk(i+1))]（i=0,1,…,n-1）｝=f(Xk(m-1))－f(Xk(m))可以证明：若f3

4、-f3)2同时成立表明方向Sk(n)与原方向组成线性无关，可以用来替换对象△m所对应的方向Sk(m)。否则仍用原方向组进行第k+1轮搜索。例：试用修正Powell法求f(X)=X12+2X22－4X1-2X1X2的最优解。X0=[1,1]T，收敛精度ε=0.001。思考：如采用原始Powell法，如何判别此题具有几次收敛性？修正Powell算法是否具有同样的收敛性？提示：先沿(e1,e2)进行搜索：e1=[1,0]T，e2=[0,1]T解:f1=f(X0(1）)=－3第一次循环：沿坐标轴方向e1进行一维搜索：得则有代入f(X)令f(X)

5、=X12+2X22－4X1-2X1X2f(X1(1）)=－7以X1(1）为起点，沿坐标轴方向e2进行一维搜索：f(X2(1）)=－7.5检验是否满足终止迭代条件代入f(X)并令得则有f(X)=X12+2X22－4X1-2X1X2计算各个方向的函数下降量：△1=f(X0(1))－f(X1(1))=-3－(-7)=4△2=f(X1(1))－f(X2(1))=-7－(-7.5)=0.5映射点：条件：满足。故沿新的搜索方向进行沿作一维搜索：代入f(X),令得=故有，故以为新起点，沿（）方向一，沿方向进行一维搜索维搜索，进行第二次循环：以为起点沿

6、方向进行搜索，得，检验：继续进行迭代，计算：映射点：条件不成立。进行继续迭代时取沿方向一维搜索进行第三循环，并得：,,基本情况同第二循环但更接近极极小点。由第二循环产生的新方向为：由于及为共轭方向，方向进行一维搜索得到即为目标函数的最优解：目标函数是二次函数，若沿§5.5惩罚函数法将约束优化问题转化为无约束优化问题的一种解法。约束优化设计的数学模型一般可表示为：用类似于拉格朗日法的方法，可将上述问题中的不等式和等式约束函数经过加权转化，并和原目标函数构成新的目标函数，成为惩罚函数（简称罚函数）惩罚项罚因子罚因子，大于零的递增序列解：构造

7、惩罚函数，将原问题转化为无约束优化问题。例：用内点罚函数求解：解：构造罚函数得：故其无约束的极值为：故原问题的约束最优解问题的约束最优解。内点法及外点法求解比较示意图外点法内点法从可行域外部逼近可行域边界，一旦到达边界，得最优点所有迭代点是可行的，边界设置障碍5.5.3混合罚函数法内点法有一定的优点，不能处理等式约束极值问题；但在处理等式约束极值方面，外点法具有一定的长处。混合罚函数法就是将外点法和内点法混合使用，对于p个等式约束，构造外罚；对于m个不等式约束，构造内罚函数。这样构造的混合罚函数为初始点应在可行域内，罚因子按内点法选取。

8、综合内点法和外点法的特点和长处，应用广泛。或采用本章练习：P1875.4（1）5.6（2）5.7（2）5.8（2）5.9（2）5.10（3）第６章机械可靠性设计§6.１.1机械可靠性发展历史始于20世纪60