最大网络流-最小费用流模型

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1、最大网络流1基本概念和术语(1)网络G是一个简单有向图,G=(V,E),V={1,2,…,n}。在V中指定一个顶点s,称为源,另一个顶点t,称为汇。有向图G的每一条边(v,w)∈E,对应有一个值cap(v,w)≥0,称为边的容量。这样的有向图G称作一个网络。(2)网络流网络上的流是定义在网络的边集合E上的一个非负函数flow={flow(v,w)},并称flow(v,w)为边(v,w)上的流量。1(3)可行流满足下述条件的流flow称为可行流:(3.1)容量约束:对每一条边(v,w)∈E,0≤flow(v,w)≤cap(v,w)。(3.2)平衡约束:对于中间顶点:流出量=流入量。即对每个v∈V

2、(v≠s,t)有:顶点v的流出量-顶点v的流入量=0,即对于源s:s的流出量-s的流入量=源的净输出量f,即对于汇t:t的流入量-t的流出量的=汇的净输入量f,即式中f称为这个可行流的流量,即源的净输出量(或汇的净输入量)。可行流总是存在的。例如,让所有边的流量flow(v,w)=0,就得到一个其流量f=0的可行流(称为0流)。2(4)边流对于网络G的一个给定的可行流flow,将网络中满足flow(v,w)=cap(v,w)的边称为饱和边;flow(v,w)0的边称为非零流边。当边(v,w)既不是一条

3、零流边也不是一条饱和边时,称为弱流边。(5)最大流最大流问题即求网络G的一个可行流flow,使其流量f达到最大。即flow满足:0≤flow(v,w)≤cap(v,w),(v,w)∈E;且(6)流的费用在实际应用中,与网络流有关的问题,不仅涉及流量,而且还有费用的因素。此时网络的每一条边(v,w)除了给定容量cap(v,w)外,还定义了一个单位流量费用cost(v,w)。对于网络中一个给定的流flow,其费用定义为:3(7)残流网络对于给定的一个流网络G及其上的一个流flow,网络G关于流flow的残流网络G*与G有相同的顶点集V,而网络G中的每一条边对应于G*中的1条边或2条边。设(v,w)

4、是G的一条边。当flow(v,w)>0时,(w,v)是G*中的一条边,该边的容量为cap*(w,v)=flow(v,w);当flow(v,w)

5、和(w,v)与之对应,这2条边的容量分别为cap(v,w)-flow(v,w)和flow(v,w)。残流网络是设计与网络流有关算法的重要工具。4增广路算法1算法基本思想设P是网络G中联结源s和汇t的一条路。定义路的方向是从s到t。将路P上的边分成2类:一类边的方向与路的方向一致,称为向前边。向前边的全体记为P+。另一类边的方向与路的方向相反,称为向后边。向后边的全体记为P-。设flow是一个可行流,P是从s到t的一条路,若P满足下列条件:(1)在P的所有向前边(v,w)上,flow(v,w)

6、)>0,即P-中的每一条边都是非零流边。则称P为关于可行流flow的一条可增广路。可增广路是残流网络中一条容量大于0的路。将具有上述特征的路P称为可增广路是因为可以通过修正路P上所有边流量flow(v,w)将当前可行流改进成一个流值更大的可行流。5增流的具体做法是:(1)不属于可增广路P的边(v,w)上的流量保持不变;(2)可增广路P上的所有边(v,w)上的流量按下述规则变化:在向前边(v,w)上,flow(v,w)+d;在向后边(v,w)上,flow(v,w)-d。按下面的公式修改当前的流。其中d称为可增广量,可按下述原则确定:d取得尽量大,又要使变化后的流仍为可行流。按照这个原则,d既不能

7、超过每条向前边(v,w)的cap(v,w)-flow(v,w),也不能超过每条向后边(v,w)的flow(v,w)。因此d应该等于向前边上的cap(v,w)-flow(v,w)与向后边上的flow(v,w)的最小值。也就是残流网络中P的最大容量。增广路定理:设flow是网络G的一个可行流,如果不存在从s到t关于flow的可增广路P,则flow是G的一个最大流。62算法描述最大流的增广路算法如下。该

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