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《1.7正整数的正约数个数与总和》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、§1.7正整数的正约数个数与总和一、正整数的正约数个数我们先看一个有趣的问题:在一间房子里有编号为的盏电灯,每盏都配有一个开关,开始灯全灭着.现在有个人依次进入房间,第个人把编号是的倍数的灯的开关各拉一次,这样操作完之后,哪些编号的灯亮着?解决这个问题,需要讨论各盏灯编号的约数个数的奇偶性.如何求一个正整数的约数的个数呢?下面我们讨论这个问题.设为正整数,的正约数最小为,最大为,因此的正约数的个数有限.为了叙述更方便，我们把正整数的正约数个数记作.例如,,,,,.从理论上讲,求d(n)只要把n的正约数全部找出来数一数就可以了,但这种方法并不适合求数值较
2、大的数的正约数的个数,例如,.下面我们以求d(360)为例,介绍可行的方法.由于,其正约数比形如,其中可取四个数之一,可取三个数之一,可取两个数之一.,,各选定一个允许值,构成一个组合,代入即可得到的正约数个数是,故.同理由,可知.定理设正整数的标准分解式为…,则….证明:的正约数必形如…,其中可取至中任意一个,共有种取法;可取至中任意一个,共有种取法;…;可取至中任意一个,共有种取法,那么….例求.解:因为,所以.例若,其中,为不同质数,,.且有个正约数,求.解:由,得.不失一般性.设,则,,解得,,故,则,所以.例有一个小于的四位数,它恰有个正约数
3、,其中有一个制约数的末尾数字是,求这个四位数.（年上海初中赛题）解:设为所求,则.若,则,而,故此时无解.若,则,其中,为不同质数.为质数,选取适当的值,使其满足,之一的末位数是,且.易知只有当,时,符合题意.定理正整数为完全平方数的充要条件是为奇数.证明:必要性设…其中…为的标准分解式,则…,故….因为,,均为奇数,所以….为奇数.充分性设…为的标准分解式,则….因为为奇数,所以,,…,均为奇数,从而,,…,均为偶数.设,,…,,则……,所以为完全平方数.该定理可以用来分析解决本节开头提出的“拉灯”问题:各盏灯的开关被拉几次取决于其编号的正约数的个数
4、,而灯是否被拉亮取决于其开关被拉次数的奇偶性（奇数则被拉亮）.由定理可知,亮灯的编号必为完全平方数,即第,,,…,号的灯亮着.当然,该定理的价值远不止于此,它主要用来判断一个数是否是完全平方数,进而解决其它有关问题.例4求证:正整数的所有正约数之积等于.证明:设的所有正约数为,,…,.因为,所以存在,使…,从而,即是的正约数，所以是,,…,之一.故,,…,是,,…,重新排序的一个结果,所以………=,则…,所以….即正整数的所有不同正约数之积等于.由例自然联想,正整数n的所有正约数之和等于多少呢?二、正整数的所有正约数之和正整数的所有正约数之和记作,下面
5、我们按含有的质约数的个数来讨论..当只含一个质约数时例如,的正约数有,,,其和为;的正约数有,其和为,一般地,若,则…..当含有两个质约数时例如,,其正约数排列如下:3则.一般地,若（是互异质数,为正整数）,则…….由上述过程不难猜想:若…(…是互异质数,…为正整数),则………….①下面试证这个结论.从①式中每个括号任取一项相乘,积必形如…(其中…),这样的积共有多少个呢?在第个括号内任取一项,有种取法,故在个括号内各任取一项,共有…种取法,即有个这样的积.由§中算术基本定理的推论可知.每个这样的积都是的一个正约数,且的任一正约数必是这样的积中的一个,
6、故所有这样的积作成的和就是的所有正约数之和,即…………这说明我们的猜想是正确的,从而得到了如下的定理.定理设正整数…,(…是互异质数,…为正整数),则…………….例求.解:因为,所以.例求形如的正整数,且使其所有正约数之和为.解:由题意可得,故可得下面四个方程组上述四种情况只有最后一组有正整数解故只有的所有正约数之和为.例求的所有正约数的倒数之和.解:因为,所以,.设的个正约数分别为…,可按乘积等于分为组,不妨设,则……….如果,则称为完全数,如截止1996年11月，共发现了个完全数.在两个正整数中,若一个数的所有正约数之和恰好等于另一个数,则称这两个
7、数为一对亲和数,如与,与,….对完全数与亲和数感兴趣的读者,以阅读上海教育出版社1998年1月版谈祥柏译[美]阿尔伯特••H•贝勒著《数论妙趣》.例8能被30整除,且恰有30个不同正约数的自然数共有多少个?(98年上海市初中数学竞赛题)解：设正整数分解质因数为…,则它的约数个数为….因为题中要求的数能被30整除,以必然含有质因数2,3,5,设此数为…,则它的约数的个数为…,因为,所以,所以没有除之外的质因数，所以只能是或者或或或或,共6个.例9证明对任意一个正整数,其正约数中末位为1或9的的个数不小于末位为3或7的数的个数.证明:设正整数约数中末尾为有
8、个,的有个.设其为…,…(从小到大排列)当显然正确.时,是的正约数,时,…互不相同，共个.,同
