附录1 位置与姿态描述和空间变换

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1、附录1位置与姿态描述和空间变换机器人是由一个个关节连接起来的多刚体，每个关节有其驱动伺服单元，因此每个关节的运动都在各自的关节坐标系度量，而且每关节的运动对机器人末端执行器的位置与姿态都做出贡献。为了研究各关节运动对机器人位置与姿态的影响，引人齐次坐标变换概念，它不仅能很好地解决机器人位置与姿态的描述问题，在处理视觉、三维图像识别和计算机辅助作图方面也是有效的工具。f.1机器人位置与姿态的描述用固联在机器人末端执行器上的坐标系（也称工具坐标系）原点，在基础坐标中的位置来代表机器人位置，用这坐标系在基础坐标

2、系下投影，即用方向余弦来表示机器人姿态，如图2-1所示。图2-1机器人位置与姿态的描述图2-1中，Oxyz为基础坐标系，它通常固联到机器人基础上。显然矢量OO=p，代表了机器人手端位置。Oxyz为安放机器人手端的坐标系，O为nnnnnn坐标系原点，n为关节总数。其中x又称为法线矢量，因为它的方向重合于夹持n器（如手指）组成平面的法线。y称为姿态矢量，它垂直于两个夹持器（手指）。nz称为接近矢量，它方向朝外指向目标。采用方向余弦R表示两坐标系投影关n系：⎡rrr111213⎤⎢⎥R=rrr⎢212223⎥⎢

3、⎣rrr⎥⎦3132331其中第一列的三个元素（rrr）分别是x轴对基础坐标系x轴、y轴、112131nz轴的方向余弦值。第二列元素（rrr）分别是y轴对基础坐标系x轴、y轴、z轴的122232n方向余弦值。第三列元素（rrr）分别是z轴对基础坐标系x轴、y轴、z轴的方132333n向余弦值。通常，采用一个矩阵T来表示机器人手端位置与姿态。⎡noapxxxx⎤⎢⎥noapT=⎢yyyy⎥(2.1)⎢noap⎥zzzz⎢⎥⎣0001⎦TT其中，前三行、三列完成了姿态表达，⎡⎤⎣⎦nnnxyz=[]rrr11

4、2131，符号n代表法线，也意味着手的夹持器平面的法线为手爪坐标系的x轴。TT⎡⎤⎣⎦oooxyz=[]rrr122232，符号oooxyz代表姿态，也说明了手爪坐标系的y轴取自垂直于两个手指的方向。a表示接近矢量，也代表了手爪坐标系轴。zT⎡ppp⎤，代表机器人手端位置，它代表图2-l中坐标原点O的位置。⎣xyz⎦n这样，矩阵T同时描述了机器人的位置和姿态。显然，每关节的运动，都对手端的位置p和姿态R产生影响。每个关节的运动是在其各自的坐标系下度量，如何将这度量结果表示在相邻的坐标系中，这就需要坐标变换

5、。通常有三种变换：平移交换、旋转变换和透视变换。f.2坐标变换f.2.1齐次坐标齐次坐标是用n+1维坐标来描述n维空间中的位置。引入齐次坐标，不仅对坐标变换的数学表达带来方便，而且也具有坐标值缩放的实际意义。三维空间任一点p在直角坐标系Oxyz中的坐标为(x,,yz)，对应于齐次T坐标为()xxxx且1234x=xx/，y=xx/，zxx=/1424342称x为比例坐标，且不等于零实数。4不难看出，p点的直角坐标是单值的，但对应的齐次坐标是多值的，即TT()x1234xxx和(ββββx1234xxx)，

6、（β是非零实数），都表征同一p点，可见齐次坐标乘以非零实数后，所表征的点位不变。若两点的齐次坐标为TT()x1234xxx，()x5678xxx这两个齐次坐标相等的条件是x//xxx=，x//xxx=，x//xxx=145824683478T将齐次坐标写成向量形式，则Oxyz直角坐标系原点的齐次坐标为[000a]，Ta为非零实数。齐次坐标[1000]表示了Ox轴上无穷远点，同理齐次坐标TT[0100]和[0010]分别指向Oy轴和Oz轴的无穷远点。可见当齐次坐标中最后一个元素趋近于0时，表示了无穷远点，它

7、扩大了描述空间，当这元素值取1时，表示了物理空间的一个点。通常它取值为1。f.2.2齐次变换1．平移齐次变换为使概念清楚，首先考虑二维情况。设p点在Oxy坐标下的位置为111T[x11y]，Oxy111坐标系原点沿x轴、轴分别平移距离ya、，如图b2-2所示。图2-2平移变换为方便，称Oxy为前一坐标系，称Oxy为后一坐标系。1113平移变换就是要求出已知点在另一坐标系下的位置。p点在Oxy坐标系下111T的齐次坐标为[xy111]，x1y1为已知。p点在Oxy坐标系下齐次坐标为T⎡xy1⎤，显然有如下关

8、系：⎣pp⎦⎡x⎤⎡xa+⎤p1⎢⎥⎢⎥yy=+b(2.2)⎢p⎥⎢1⎥⎢⎣11⎥⎢⎦⎣⎥⎦把式(2.2)写成矩阵形式⎡⎤⎡⎤⎡xpxa1110⎤⎡⎤x⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥yy==T01by⎢⎥⎢⎥⎢p11⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎣11001⎥⎢⎥⎦⎣⎦1T为平移变换矩阵。对二维情况，它是3×3方阵。它是由一个22×单位矩阵、后一坐标系原点位置列矢量及满足齐次坐标表达而增加的一个行矢量〔001〕组成。平移变换的数学实质是求两个矢量