2019_2020学年高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例学案（含解析）新人教A版

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1、2.5　平面向量应用举例考试标准课标要点学考要求高考要求平面向量在平面几何中的简单应用bb平面向量在物理中的简单应用aa知识导图学法指导1.本节的重点是用向量解决实际问题的两种方法(基底法和坐标法)和向量法解决几何问题的“三步曲”；难点是如何将实际问题转化为向量问题．2．通过练习，体会平面几何中的向量方法与代数方法的区别：前者的思路是“形到向量→向量的运算→向量和数到形”，后者的思路是“形到数→数的运算→数到形”．3．向量在物理中的应用，应注意两个方面：一是体会如何把物理量之间的关系抽象成数学模型；二是如何用向量来解决这个数学模型.

2、1.物理学中的量与向量的关系(1)物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是向量．(2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法．2．用向量方法解决平面几何问题的三个步骤　向量方法解决平面几何问题的六个应用(1)证明线段相等：通过向量运算，证明2＝2，即可证明AB＝CD.(2)证明线段平行：利用＝λ，点A，B，C，D不共线，可以证明AB∥CD，特别地，当λ＝1时，AB綊CD.(3)证明线段垂直：利用·＝0，证明两线段垂直．(4)证明三点共线：利用＝λ(λ∈R)可以证明A，B，C三点共线，也可变形为＝x＋y(x

3、，y∈R，x＋y＝1)，其中O为空间任意一点．(5)证明四点共面：利用＝λ＋μ(λ，μ∈R)可以证明点P，A，B，C四点共面．(6)求值：利用向量的夹角公式求角；利用

4、

5、＝求长度．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则．(　　)(2)若△ABC为直角三角形，则有·＝0.(　　)(3)若向量∥，则AB∥CD.(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)×2．已知点A(－2，－3)，B(2,1)，C(0,1)，则下列结论正确的是(　　)A．A，B，C三

6、点共线B.⊥C．A，B，C是等腰三角形的顶点D．A，B，C是钝角三角形的顶点解析：因为＝(－2,0)，＝(2,4)，所以·＝－4<0，所以∠C是钝角．答案：D3．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则

7、F1＋F2

8、为(　　)A．(5,0)B．(－5,0)C.D．－解析：F1＋F2＝＋＝(1,1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)．

9、F1＋F2

10、＝＝.答案：C4．力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3,4)，则力F对质点P做的功是________．解析：因为W＝F·s＝(－1，－2)·(3,

11、4)＝－11，则力F对质点P做的功是－11.答案：－11类型一　向量在几何中的应用例1　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.　　　　【证明】　方法一　设＝a，＝b，则

12、a

13、＝

14、b

15、，a·b＝0，又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋，所以·＝·＝－a2－a·b＋＝－

16、a

17、2＋

18、b

19、2＝0.故⊥，即AF⊥DE.方法二　建立平面直角坐标系如图，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)．因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以⊥，即A

20、F⊥DE.对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件(向量的数量积为0)，而对于这一条件的应用，可以考虑向量关系式的形式(基底法)，也可以考虑坐标的形式(坐标法)．方法归纳用向量方法解决平面几何问题的步骤跟踪训练1　(1)在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形为(　　)A.平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形(2)若O是△ABC内一点，＋＋＝0，则O为△ABC的(　　)A.内心B．外心C．垂心D．重心解析：(1)由题可知∥，

21、

22、＝

23、

24、，且⊥，故四边形为菱形．(2)如图，取AB的中点E，连接OE，则＋＝2.又＋＋＝0，

25、所以＝－2.又O为公共点，所以O，C，E三点共线，且

26、

27、＝2

28、

29、.所以O为△ABC的重心．答案：(1)D　(2)D(1)由＋＝可得∥，

30、

31、＝

32、

33、，·＝0可得⊥.(2)作出图形，取AB的中点E，连接OE.类型二　向量在物理中的应用例2　如图所示，求力F1，F2的合力F的大小(精确到0.1N)和方向(精确到分)．【解析】　设F1＝(a1，a2)，F2＝(b1，b2)，则a1＝300cos30°＝150，a2＝300sin30°＝150，b1＝－200cos45°＝－100，b2＝200sin45°＝100，所以F1＝(150，150)，

34、F2＝(－100，100)，则F＝F1＋F2＝(150，150)＋(－100，100)＝(150－100，150＋100)，

35、F

36、＝＝100≈314.6.设F与x轴的正方向的夹角为θ，则tanθ＝≈2.4616.由F的坐标知θ是第一象