2019_2020学年高中数学第一章集合与函数概念1.2.2.2分段函数与映射学案（含解析）新人教A版

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1、第2课时　分段函数与映射知识点一　分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y＝其“段”是不等长的．知识点二　映射设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．,映射由三要素组成，集合A，B以及A到B的对应关系，集合A，B可以是非空的数

2、集，也可以是点集或其他集合．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)映射中的两个非空集合并不一定是数集．(　　)(2)分段函数由几个函数构成．(　　)(3)函数f(x)＝是分段函数．(　　)(4)若A＝R，B＝{x

3、x>0}，f：x→y＝

4、x

5、，其对应是从A到B的映射．(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×2．已知函数f(x)＝则f(2)等于(　　)A．0　　　B.C．1D．2解析：f(2)＝＝1.答案：C3．若f(x)＝且f(x)＝1，则x＝(　　)A．1B．－1C．±1D．0解析：当x≥0时，f(x)＝

6、1⇒x＝1，当x<0时，f(x)＝1⇒－x＝1，即x＝－1.答案：C4．若A为含三个元素的数集，B＝{－1,3,5}，使得f：x→2x－1是从A到B的映射，则A等于(　　)A．{－1,2,3}　　B．{－1,0,2}C．{0,2,3}D．{0,1,2}解析：由映射的概念，A中元素在关系x→2x－1下，成为－1,3,5，则A＝{0,2,3}．答案：C类型一　求分段函数的函数值,,例1　(1)设f(x)＝则f＝(　　)A.　　　B.　　　C．－　　　D.(2)已知f(n)＝则f(8)＝________.【解析】　(1)∵f＝－2＝－，∴f＝f＝

7、＝，故选B.(2)因为8<10，所以代入f(n)＝f(f(n＋5))中，即f(8)＝f(f(13))．因为13>10，所以代入f(n)＝n－3中，得f(13)＝10，故f(8)＝f(10)＝10－3＝7.【答案】　(1)B　(2)7判断自变量的取值范围，代入相应的解析式求解．方法归纳(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．(2)像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．(3)已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解．跟踪训练1　已知f(x)＝求f(－1)，f(f(－1))

8、，f(f(f(－1)))．解析：∵－1<0，∴f(－1)＝0，∴f(f(－1))＝f(0)＝π，∴f(f(f(－1)))＝f(π)＝π＋1.根据不同的取值代入不同的解析式．类型二　分段函数的图象及应用例2　(1)如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为________，值域为________；(2)已知函数f(x)＝1＋(－2

9、函数的定义域为[－1,2]，值域为[－1,1)．(2)①当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，当－2

10、象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．跟踪训练2　函数y＝的图象的大致形状是(　　)解析：因为y＝＝所以函数的图象为选项A.答案：A方法一　去绝对值，化为分段函数，画出函数图象．方法二　通过函数图象过的特殊点，如(1,1)，(－1,1)进行检验．类型三　映射的概念例3　判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射：(1)A＝N*，B＝N*，对应关系f：x→

11、x－3

12、；(2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系f：作圆的内接矩形；(3)A＝{

13、高一(1)班的男生}，B＝R，对应关系f：每个男生对应自己的身高；(4)A＝{x

14、0≤x≤2}，B＝{y

15、0≤y≤6}，对应关系f：x→y＝x.【解析】　(1)A中元素3在对应关