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1、第23卷第4期大学物理实验Vol.23No.42010年8月PHYSICALEXPERIMENTOFCOLLEGEAug.2010文章编号:10072934(2010)04008003贝塞尔公式的推导及其物理意义探讨庄正辉,吴先球,陈浩(华南师范大学,广东广州510006)摘要:通过介绍贝塞尔公式的推导,并与另外两条类似的误差公式进行比较,讨论了贝塞尔公式的物理意义及其准确性,分析了贝塞尔公式相关的物理意义。关键词:贝塞尔公式;标准差;相对标准差中图分类号:O241.1文献标识码:A物理实验一般需要进行多次独立测量求解真di=
2、di-,ki平方后进行求和,得到:xiN实值,在满足正态分布条件时使用X==x22N(d222i)(di)Nki=di-2N+N1N和贝塞尔公式=(xi-x),这是物N-1i=122(di)理实验误差计算的常用公式。而测绘教材[1,3]和物=di-N[2,4,5]理实验教材对贝塞尔公式的推导有不同介2其中(di)=didj[6]绍,不同的推导方法之间也存在差异,而没有强2调贝塞尔公式本身及公式推导过程的物理意义。=di+didjij,jii学习贝塞尔公式之前已经知道了因在测量中的正负误差出现的机会相等,此时N12(d2d2i=
3、(xi-X)(1)i)iNi=1=(5)NNxi所以并且X==x,但是为什么不能代入得到N2diN22N-1212ki=di-=di(6)=(xi-x)(2)NNNi=1将(3)、(4)两式代入(6)式,得到贝塞尔公式贝塞尔公式与公式(1)、(2)之间存在什么区别和N联系。本文通过对这些问题的解答及分析揭示贝=1(xi-x)N-1i=1塞尔公式的物理意义。xi整个推导过程没有用到X==x的条N1贝塞尔公式推导的简单介绍及分析[2,3,7]件,唯一用了近似解的是(5)式。一般认为2设2di(di)i=从两个极限进行证明,当Nki=xi-x
4、(3)NNdi=xi-X。则didjNj,jii2121时,为极小量,当N趋于无穷时,=di(4)NNi=1didjxi(xi-X)Nj,jiiki=xi-x=xi-=xi-X-由于N在分母,lim=0。但是由两NNN收稿日期:20100423贝塞尔公式的推导及其物理意义探讨81种极限进行推理的物理意义并不清晰。S-N11=>SN-12(N-1)2(N-1)2贝塞尔公式更准确描述标准差的(8)比较分析用公式(2)得到的相对标准差比贝塞尔公式大,说明用贝塞尔公式来描述标准差更加准确。标准差本身也有误差。理论上获得的标准差是利用无穷多
5、次测量值按定义或者贝塞尔公式算3贝塞尔公式及其相关物理意义得的,是一个常数S,使用有限次测量值得到的标[8]准差也是有误差的。一般使用相对标准差(误(1)从贝塞尔公式的推导过程可以发现,整差的误差)来讨论用什么样的公式或方法计算标个推理过程用到了公式(1),因此贝塞尔公式要求准差的估计值有最小误差。次测量值服从正态分布。贝塞尔公式并没有使用S-xididj对于使用贝塞尔公式的相对标准差X==x,而是强调j,jii在两个SNN1极限条件下趋向于零。因此,这里贝塞尔公式在非=,下面使用公式(2),预计其相对标2(N-1)理想情况下是含有误差的公式。当N是由
6、于1N在分母使之趋于零,因此认为贝塞尔公式中测准差将大于,其物理含义是公式(2)2(N-1)量值与真值的差的绝对值xi-X相对于N来说并没有贝塞尔公式那么准确的描述测量的标准是可以忽略的。差。假设N次测量满足正态、独立和相同测量条didjj,jii(2)在两个极限下趋于零,但件,则NN在有限次测量下存在误差。在需要精确结果的计(xi-x)[9]i=12算中,使用因子对贝塞尔公式进行修正,并且2(N-1)(7)在测量次数N>7时,t因子影响计算结果的数量N级为10-2。而且随着测量次数的增加,所需要的修1使用公式=(xi-x)代入上式,得到Ni=1正也
7、越来越小,从另一个角度来说就是贝塞尔公2Ns22式可以越来越准确地作为标准差了。2(N-1),取(N-1)的方差,有S-222相对标准差用于描述标准差的准确NsND(s)2SD2=4=2(N-1),其中D(s)=程度。在实验测量和教学中很少谈到相对标准差,12222-(s-)注意到=()2,将在s做泰勒展只是因为相对与真实值而言,标准差已经很小,而开,并取一阶近似,可以得到:相对标准差比标准差更小,因此平时并不严格区11s-=(s2)-2(s2-2)别而已。2(3)将贝塞尔公式与错误的公式
