求极限时应注意的几个问题

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1、万方数据2009年9月第28卷第5期保山师专学报JournalofBaoshanTeachers’CollegeSept．，2009V01．28No．5求极限时应注意的几个问题何冬梅赵文燕(保山学院数学系，云南保山678000)摘要：极限是微积分巾的基本概念，是微积分区别于常量数学的重要工具。而求极限则是高等数学的重中之重，笔者就教学实际，谈谈在求极限问题中应注意的几个问题。因为如果把握不住这些问题，做题时则往往容易出错或者本应简单的问题变得更加复杂化。关键词：求极限；两个重要极限；洛比达法则：

2、问题中图分类号：017文献标识码：A文章编号：1008—6587(2009)05—019—03SolutionstotheValueofLimitHeDongmeiZhaoWenyan(MathDept．BaoshanCollege，Baoshan，Yunnan678000)Abstract：Thelimitisthebasicconceptofthecalculusandkeytoolthatdistinguishesfromtheconstantmathematics．However,the

3、solutionstothelimitisthecoreinhighermathematics，theauthorfocusesonthesolutionstothevalueoflimitaccordingtothereallifeteachingexperience．Keywords：solutiontolimit；twoimportantlimits；Lobydaprinciples；problem1．运用两个重要极限时应注意的问题以下两个极限：1、lim百sin[S]2、lim(1+口)

4、由≈【l衄r叶nL_Jr，n其中搿_。(或并-+矿爿_旷描-÷一oo,oc----’+oo．茁_∞)，口卅(口表示戈的任一函数)，通常被称为两个重要极限，运用两个重要极限求极限时，如果不注意细节，往往容易出错，或者本应简单的问题却变得复杂化。例1．求lim掣错误解法：原式=一lira孚等=手。粤号争=手错误剖析：这里是注意到了符合重要极限l中的掣，而忽略了当戈一∞时兔一∞即有口-+U∞，与口川不相符，因而不能运用重要极限1来解题。正确解法：因为戈一∞时，丢川，Isin5xl≤1，根据“一个无穷小

5、量与一个有界量之积为一个穷小量”。所以得：lim曼粤=lim丢·sin5戈--0r一∞￡xr_．∞二x例2：求1im(1+上r1删错误解法：原式≈，错误剖析：此处只注意到了重要极限2中的上(1+口)u的形式，而忽视了口_0的条件，从而导致错误。正确解法：这是一个∞o型的不定式limIn(I+上11叫l+上rjIn(1+上)一1、∞’三竺———i二一f．竺一、原式=lime5=lime。=e。姆古．鲁≈。=eo_l收稿日期：2009—09—10作者简介：何冬梅(1964一)，女，云南腾冲人，保山学

6、院数学系，讲师，研究方向为数学教育。万方数据·20·保山师专学报第28卷例3='求一lim(1一击)_丁f312解：原式2粤忙去)导一--。llme击“争：e0_1e=e”=l解法分析：此解法本意是运用重要极限公式2，结果对，过程也不错，但比较繁。事实上，重要极限2突出在它是典型的1。型的不定式，而这里的次方却是常数。～姜；简单解法：原式=[磐(1一未了)]2=1一=lr_+∞～JT互2．求和、差的极限时应注意的问题例4：求lim(三+兰+妄+．．·+冬)[3]P33n一∞n。凡。n。n‘错误解

7、法：原式：lim与+lim冬+lim；⋯+liml0=0+0+⋯+0=0错误剖析：在使用“和的极限等于极限的和”时，只对有限个函数之和才适用，而本例中的项却不是有限的，所以导致错误。正确解法：原式：lim些塑≠旦：lim鸣掣．1：H一+∞n。n_∞Z／7,。l+上．=lim半=}例5：求lim(、／丽一、／；百)哪错误解法：原式=lira、／丽一lim、／≯i=∞一00----0错误剖析：错误l∞是个记号，不能像数一样运算，故00一∞是没有运算意义的。错误2在使用极限运算法则“函数差的极限等于极

8、限的差”时，要求各函数的极限要存在，而当时一+∞，、／丽与、再的极限均不存在，故不能使用差的极限运算法则。正确解法：原式：lim(巫=近M避±巫)一+*、／虿酉+、／万：lim盘塾=垒蔓)r⋯、／丽+、／≯i：lim兰垄一+*、仔5i万+、／；百’2黑了i■厅2—2_”、／·+手+、／·一}3．求几个函数之积的极限时应注意的问题例6：求lira戈2sin{151v32错误解法：原式=lim石2·limsin；=o·lirasin妻=0错误剖析：在使用“函数乘积的极限”等于各函数极限的乘积时，要求