小学奥数_平面直线几何重要模型

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1、等高模型1ASBCAH△ABC21结合三角形面积公式：S△ABPBPAH2BC1HPS△APCPCAH2故有S△ABP:S△APC:S△ABCBPPCBC::(等高模型是所有几何模型的基础)A1常见题型：1已知图形中三条线段的比（图中标注），这类31BC41题有三种问法：（1）已知阴影部分面积为1，求S△ABC的面积（2）已知S△ABC的面积为1，求阴影部分面积（3）直接问阴影部分占总体面积的几分之几1)对于第一类问法，只需要严格按照图形面积的比例关系，一步步推倒即可2)对于第二、三种问法，则需用到份数思

2、想（往往在图形中只知道整体面积时用份数）A15a1图中的a即可理解为一份（或用标数同理）3a13aaB41C1通过局部标份数的方式可以发现10a（10份）对应的面积为1，那么一份即为，101则阴影部分面积为1份，即1013）对于第三类问法，则参照第二问的份数思想，整体为10份，阴影为1份，则占10AB122试试下面这道题：211A11CB12C（问法如同上述三问）(这个题是否缺少了辅助线呢？)拓展（等积变形）：1/8P'P如图平行线间的三角形ABP,若P点在平行线间随意拉动，形AB成的新三角形和三角形ABP面积相等，其本质是同

3、底等高，且平行线间的距离处处相等常见图形：不难发现，等积变形依赖平行线而存在，什么图形里最多存在平行线呢，答案是正方形410610610可能大家对第三个图有些疑问，我们如何构造平行线把不规则的图形变换成较规则图形进而求解呢，看下图AD4MB10PC做MP平行于AC,于是SSAMCAPC210210,PC为何等于2你明白了吗鸟头模型AMN这个图形是否与我们上边最后一题有相似之处呢？BC这就是我们熟知的鸟头模型，而他的证明也与等高模型紧密联系AMS△AMN:S△AMCANAC:1N只要连接辅助线MC,则有,两式相

4、S△AMC:S△ABCAMAB:2BC2/8SANAM△AMN乘则有,我们惊奇的由等高模型推导发现，共角的两个三角形面积比竟然SABAC△ABC等于其等角的对应夹边线段乘积比，更让我们惊喜的是通过鸟头模型我们得到了此类图形中的阴影面积占总体面积的几分之几！这对我们处理下面一些问题异常重要．1122常见题型：21212121仍然是三类问题：1．整体面积为1，求阴影部分面积2．阴影部分面积为1，求整体面积3．阴影部分占整体面积的几分之几通过鸟头模型我们很快能得到两块空白面积占总体面积的几分之几，这里结合分数思想，我们可

5、以用整体（也就是单位1）减去这两个分数，就得到了阴影部分的占整体面积的几分之几，再根据分数应用题里我们学到的知识，解决上诉三个问题可谓轻轻松松111这类题目相信大家也不陌生，如何求阴影部分面积占整体面积的几1112a2a分之几呢，还是借用我们的份数思想，借助鸟头模型标出图中各个a2a1三角形面积，可求出整体面积即为7a(7份)，易得阴影部分占了整体7拓展：关于鸟头模型，有这么常见的四种图形，其都满足面积比等于等角或补角的夹边线段乘积比，关于他们的证明可查看之前的第5讲知识点精讲，在此不赘述这些图形中，或有相等的角，或有互补的角

6、，只需要找到其对应角的夹边线段乘积，就可以求出两个三角形的面积之间的关系3/8蝴蝶模型任意凸四边形中的蝴蝶模型：DAS1MS4S2S3BCSS和就像是两个等高模型靠在一起△ABC△ADC蝴蝶模型的三大境界：1.SSSS(蝴蝶模型乘积式)24132.S:SSS:AMMC:(由等高模型而来蝴蝶模型比例式)2314SSSSSAM2112△ABD3．SSSSSMC3434△BDC拓展（风筝模型）：BAM借助蝴蝶模型的第三境界，我们得到了风筝模型的CDSAM△ABD结论，，风筝模型的证明如上直接运用比例的性质即

7、可，而其常见SMC△BDC的题型与蝴蝶模型也密不可分，如：BAM已知SABD7,S四边形ABCD15,问AMMC:=？DC梯形中的蝴蝶模型：ABM梯形中蝴蝶模型最重要的一个结论为：翅膀相等CD也就是说阴影部分的两个三角形相等（此图形中是否还存在面积相等的两个三角形呢？）因为梯形存在两条平行线，故同底等高，我们还能知道SS,SS△ACDBCD△ABC△ABD4/8常见题型261)知三求一4结合蝴蝶模型第一境界结论即可解答?DA2M62)已知四边形整体面积为24，求其余两块面积BC由等高模型可知,S△AMD：S△DMCA

8、MMC:2613：：,又有S△ABC242616，11S△ABM占S△ABC的，结合分数思想，S△ABM的面积为16=444ADMP3）已知S△MDC的面积为125,AD平行于BC，并且平行BC于MP，那么阴影部分面积为多少呢？（提示：SS△AMP