多尺度建模及计算方法

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1、多尺度建模及计算方法张平文(北京大学数学科学学院100871)摘要：多尺度建模与多尺度计算方法已经成为计算科学重要的研究方向。与传统的计算方法不同，多尺度计算方法需要-9多尺度建模问题同时考虑。本文介绍了几种常用的多尺度计算方法，即解析方法、多尺度有限元方法与分层次多尺度计算方法。并以复杂流体为例，介绍了多尺度建模过程与多尺度计算方法的关系。关键词：多尺度建模多尺度计算方法复杂流体传统的数学模型是建立在单一层次的物理规律之E的．应用三大守恒定律(质量、动量、能量)及某种本构关系，从而形成某类偏微分

2、方程组(如Navier—Stokes方程)。计算方法就是数值求解这些偏微分方程组的离散方法，如有限差分方法、有限元方法、谱方法等。计算方法与数学模型是两个单独的过程，即数学建模不考虑将来使用什么样的计算方法，而研究计算方法不考虑数学建模的过程。随着计算机的高速发展，与之相适应的计算方法与计算技术取得了巨大的成功。建立在牛顿力学基础之上的连续介质力学数学模型，其“连续性假设”并不能反映某些微观尺度起主导作用的运动，如裂纹传播、晶体生长等。当然，我们可以以量子力学为基础来建立这些问题的数学模型，然而，

3、即使用当今最快的计算机和对此方程最好的计算方法(密度泛函方法)，能计算最大的体系也不过几千个电子，离实际要求相距甚远。因而对这类微观尺度也起主导作用的运动建立多尺度物理模型是必要的。多尺度物理模型是指对不同的区域或不同的尺度层次应用不同物理规律建立的数学模型。我们期望多尺度物理模型不仅能较好地反映物性机理且为能有效计算提供可能性，从而使得多尺度建模与多尺度计算方法成为一对孪生兄弟。与传统的计算方法研究不同，多尺度建模成为计算科学研究中厦要的组成部分。在建立多尺度物理模型过程巾，常f}j的儿个物理层

4、次为麓予力学(Quantunl、,lechaniCs)、分，r动力学(晒lecuIarDynamiCS)、分f运动论(Kine“CTheory)和J连续介质力学(ContjnuulllThem’Y)。多尺度物理模型中有两个常用的概念：宏观与微观，与物理学家理解4i同，我们把他们看成⋯个相对的概念。我们通常把宏观变量记为U，微观变量记为“，宏观区域记为D，微观区域记为D，状态空间分别记为Q=c(D)，u#C(D)，宏观与微观变量信息交换由两个主要的算子，压缩算子Q和重构算予R完成，他们满足U=Qu，

5、“=RU，QRU=U显然，这两个算子都不是唯一的。在传统的数学模型中，有时我们不得不引进太多的经验参数(如液晶)或模型在某些区域不对或缺乏精度(如裂纹)，这时，我们期望建立多尺度物理模型避免上述困难，所以，即使不考虑计算方法的影响，多尺度物理模型对真实反映物性机理也是非常重要的。多尺度物理模型中宏观与微观经常会相互耦合。最简单的情形为单向的(SerialCoup]ing)，即微观模型为宏观模型提供参数或变量但不依赖宏观模型。最一般的情形是宏观模型与微观模型相互关联(Concurrentcoupli

6、ng)。从区域角度看，宏观模型与微观模型既可以是局部耦合也可以是全局耦合。在多尺度物理模型中，我们有一个基本假设，即微观模型在整个区域都是正确的，掘此，我们把经常遇到的多尺度横型分为两类：A型：宏观模型在局部区域不对(如裂纹)；B型：宏观模型存在但"gf,II具体形式(如均匀化问题)。对这两类问题可能采用的多尺度计算方法也差别很大。数值求解多尺度物理模型的计算方法称之为多尺度计算方法。对均匀化问题，多尺度计算方法可以分为三类：解析方法、多尺度有限元方法和分层次多尺度方法(H,VLM)。解析方法就是

7、找到宏观控制方氍，然后用常规的计算方法求解，这个过程町以表达为Ⅵ，。．CLu，。hItII．，??多尺度有限元方法就地J_l_j能反l映做脱f一息的坫两数替代常规有限冗的壤两fl',j仃{艇元：仃浊求自g{夸和J疗f笔，i皇，J‘j』：』I±’一I

8、IfI5HjLCIJ女fi人之⋯Babnska提ffj，后经’I、OIIi92Itou、Schwab等人发展，成为重要的多尺度计算方法，陔方法的不足之处是处理非线性问题有困难，且计算量并没有减少。分层次多尺度方法与上述两种多尺度计算方法不同，它只是一个

9、框架，它可以简单表述为：给定微观模型U，=f(u)，我们希望得到U=Qu，从而我们假设u。=F(U)，这旱通量F(U)并不知道，E述方程用Euler格式可以求解≮≯叫叭所谓分层次多尺度计算方法就是从微观模型中给出通量F(U”)的求解方法，这样，我们不需要知道宏观模型方程，却可以求解宏观变量。由徐昆等人提出的求空气动力学运动学格式就是～个典型的分层次多尺度计算方法，它不需要知道宏观运动方程(EuleF方程)，却可以求出宏观变量密度、速度、温度等。分层次多尺度计算方法的一般框架是由鄂维