基于仿射变换的三维到二维转换算法

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1、第11卷第27期2011年9月科学技术与工程Vol.11No.27Sep．20111671—1815(2011)27-6743-04ScienceTechnologyandEngineering2011Sci.Tech.Engrg.基于仿射变换的三维到二维转换算法刘婧(渭南师范学院，渭南714000)摘要根据二维仿射变换公式推导了三维仿射变换公式，给出了三维坐标系中的仿射矩阵表示公式。同时提出了一种简单的三维到二维的坐标转换公式，并且使用基于C++的QT类库对这种算法进行了实现。这种算法可以应用于一些使用二维模拟三维的图形处理软件中

2、，比如flash中的三维变换模拟和GUI编程中的三维图形变换等情况下。关键词仿射变换三维C++QT中图法分类号TP391．75;文献标志码A进行一些三维图形处理要用到三维图形的旋何知识很容易推出x＇=xcosθ－ysinθ，y'=xsinθ+转、平移、拉伸等变换。同时计算机屏幕又是一个ycosθ。用矩阵表示为(1)式。二维的平面，如何简单地将三维图形表示在二维平x'cosθ－sinθx()(1)面上。一般的教材和网络上二维仿射变换公式和y'=(sinθcosθ)()y案例较多，但很少有三维仿射变换的推导和实1．1．2缩放［1］例。于是

3、本文根据二维仿射变换推导了三维仿缩放公式为x'=sxx与y'=syy，sx和sy为x坐射变换矩阵的表示。并借助三维图形在平面上的标和y坐标的缩放因子。其中用矩阵表示为式斜二侧画法对三维坐标进行了降维处理。使得三(2)。维图形变换和平面表示一并得到了解决。x'sx0x()(2)y'=(0s)()yy1坐标变换和仿射变换1．2仿射变换前面研究了二维坐标的旋转和缩放。其他二在线性代数中，线性变换能够用矩阵表示。如维坐标变换，例如切变、反射、投影等都可以用类似果T是一个把Rn映射到Rm的线性变换，且x珒是一的方法表示。可见常见的二维图形变换最

4、终都可个具有n个元素的列向量，那么我们把m×n的矩［4］用一个2×2的矩阵加以表示。阵A，称为T的变换矩阵，其表示形式为:T(x珒)=Ax珒。前面研究的所有变换都是线性变换。某些其仿射变换是线性变换的一种，经常应用于计算机图他变换(如平移)不是线性的，不能表示为与2×2［2］形学中。矩阵相乘的形式。假定要从点(2，1)开始，将其1．1仿射变换在二维图形中的应用旋转90度，在x方向将其平移3个单位，在y方向1．1．1旋转将其平移4个单位。可通过先使用矩阵乘法再使设p点坐标为(x，y)，将p点绕坐标原点逆时针用矩阵加法来完成此操作。如式(

5、3)所示。旋转θ角度后得点p'，设p'坐标为(x'，y')。借助几0－1232()+=(3)10()1()4()62011年6月28日收到其变化过程可用图1表示:作者简介:刘婧(1982—)，四川成都人，硕士，渭南师范学院数学与信息科学学院教师，研究方向:基础数学。6744科学技术与工程11卷图样从A11到A33的三行三列表示了三维坐标的线性变换组合。而A14、A24、A34表示了三维坐标的平移。采用类似式(1)的推导可得出三维坐标以z轴为轴旋转θ角(无平移)的仿射矩阵为式(7)所示。cosθ－sinθ00æöçsinθcosθ00÷

6、ç÷(7)ç0010÷ç÷è0001ø三维坐标以x和y轴为轴旋转θ角(无平移)的仿射图1旋转平移仿射矩阵为式(8)和式(9)所示。仿射变换是一个线性变换(与2×2矩阵相乘)1000æö外加一个平移变换(与1×2矩阵相加)。将仿射变ç0cosθ－sinθ0÷ç÷(8)换存储于一对矩阵(一个用于线性部分，一个用于ç0sinθcosθ0÷ç÷平移)的替换方案是将整个变换存储于3×3矩阵。è0001ø若要使其起作用，平面上的点必须存储于具有虚拟cosθ0－sinθ0æö第三坐标的1×3矩阵中。通常的方法是使所有的ç0100÷ç÷(9)第三坐标

7、等于1。例如上式可以表示为式(4)的çsinθ0cosθ0÷ç÷形式。è001øæ0－13öæ2öæ2ö三维坐标的任意旋转变换都可以分解为以x，y，z为ç÷ç÷ç÷1041=6(4)轴的旋转的组合。所以知道了以上三个变换公式。çç÷÷çç÷÷çç÷÷è001øè1øè1ø其他的变换都可以组合得来。式(4)中最前面的3×3矩阵称为仿射矩阵，其一般将式(7)、式(8)、式(9)的算法可定义一个如形式如式(5)所示。其中A11，A12，A21，A22构成的2×下的C++类Point3D来封装:2矩阵表示了坐标的一般线性变换的组合。A13，A

8、23classPoint3D分别表示了x坐标和y坐标的平移量。其余元素固{public:定为0或1。floatx;æA11A12A13öfloaty;ç÷çA21A22A23÷(5)floatz;ç÷è001øvoidr