2014中国台湾物理竞赛试题

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1、2014年第15屆亞洲物理奧林匹亞競賽及第45屆國際物理奧林匹亞競賽國家代表隊複選考試理論試題2014年2月15日考試時間：13:30-16:30，共三小時＜＜注意事項＞＞1、本試題共有計算題六大題，每題25分，合計150分。2、各計算題請在答案卷上指定之位置作答，每大題答案卷二頁。3、可使用無程式之掌上型計算器。可能用到之常數列表名稱符號數值與單位光速?3.00×108m/s基本電荷電量?1.60×10−19C氣體常數?8.31J/mol∙K波茲曼常數?1.38×10−23J/K?史蒂芬-波茲曼常數?5.67×10−8W/m2∙K4數學公式(?為

2、時間，?為任意物理量)???2????1.?̇=，?̈==()????2?????2.??=?∙??−1???cos??sin?3.=−sin?，=cos?????1?4.當

3、?

4、≪1，≈1−√1+?25.當?≪1，sin?≈?12014年第15屆亞洲物理及第45屆國際物理奧林匹亞競賽國家代表隊複選考試試題本試題共有計算題六大題，每題25分，合計150分。一、汽車小幅鉛直振盪之簡易模型利用一個簡化模型，我們可以分析靜止汽車的小幅鉛直振盪運動。假設車子可視為如下圖1所示的平面系統，靜止時質心位於C；其質心只能沿鉛直方向做小幅的上升下降運動。車身的質量

5、為?，當繞通過質心且垂直於鉛直面的水平軸轉動時，車身所具有的轉動慣量為?=??2，?為迴轉半徑。前後輪視為剛體，支持車身重量的兩個理想彈簧，只能沿鉛直方向伸縮，其下端固定於車輪中心，而力常數分別為?1與?2。兩車輪中心與質心之間的水平距離分別為?1與?2，回答問題時，以?代表質心的位移(向上為正，見圖1)，以?代表車身轉動的角位移(以逆時鐘方向為正，見圖1)，且?與?均以車子在重力下達靜止平衡時的值為其零點。?1?2?C??=0??21前後圖1(a)由車身在鉛直平面的運動方程式(即質心的運動方程式和車身繞質心的轉動方程式)簡化，可以得出鉛直線上之加

6、速度(即?̈)、和繞質心轉動之角加速度(即?̈)為下兩式：?̈=−??−??和???̈=−?−?。?2?2寫出上兩式中?、?和?的表達式。(b)假設?>0，且車身的鉛直上下運動與繞質心的轉動，均以同一角頻率進行簡諧運動。這種運動稱為簡正模態，試求此種運動的角頻率??(其中?為整數，代表不同簡正模頻率)，並求每個簡正模態下?與?的振幅比??/??(以?、?、?、?表示)。(c)已知在簡正模態下的運動，相當於繞某一個點P?的純轉動。在?>0的已知條件下，令每個P至質心C的距離為?，試求比值??/?2。此題中以?=1代表頻率最高??12之簡正模態，?=2

7、為次高角頻率模態。(d)假設?=0，?≠??2。當?=0時，將車子鉛直往下壓低一個距離ℎ，沒有任何轉動。試求車子的鉛直位移?與角位移?隨時間的變化。2二、負離子之電偶極束縛態(a)許多非球形分子的正負電荷中心不重合而形r̂成電偶極，如右圖2所示，其中O為原點，某zA一分子的正負電中心之電荷為?與−?，均位於z軸上，其位置分別為?=?/2與?=−?/2。設電θ̂偶極之電偶極矩?=??，若A點之方向與z軸??之夾角為?，且其距原點O之距離?遠大於兩電O荷的距離，即?≫?。設無限遠為位能零點，試−?求A點之電位(精確到電偶極矩?的一次項)，並圖2求沿r

8、̂方向和θ̂方向之電場。(b)有一些帶負電荷之負離子是由中性分子之電偶極?與電子?束縛而成。如圖3所示，分子的電偶極為沿z軸方向，假設分子固定於原點且其電偶極是固定的，已知一電子的電荷為−?(?>0)，質量?，且由量子物理可知對z軸之不為?零的角動量最小為ℏ，若電子被束縛在對電偶極張角為?之錐形筒上且與z軸垂直的平面相交之圓形軌道上運動。若??遠大於中性分子長度，試求cos?的數值，以及電子相對?於原點之角動量的z軸分量，並求出要能束縛電子在上述圖3圓形軌道上，中性分子所需具備之最小的電偶極矩?為何？(c)當分子為球形時，在未加電場前，因球形對稱

9、的分子其正負電荷中心是重合的，故分子不具固定的電偶極矩。若某一中性分子之正負電荷可以視為兩均勻帶電且半徑為?之球體，如下圖4所示。在外加電場E下，正負電荷中心分離最後達一平衡位置，假設在各球體之電荷分佈不變，且兩球體中心分離距離甚小於半徑?，試求此分子之電偶極矩。負電荷球體正電荷球體外加電場：?圖4(d)利用以上結果，假設此分子的正負電荷中心在電場下瞬間達到平衡位置，已知一電子在以該分子為中心之半徑為R的圓形軌道上運動，且R甚大於兩球體中心分離距離，試求此帶一負電荷之負離子的能量(設無限遠為位能零點)。3三、磁場中運動的帶電粒子考慮一個質量為?、電

10、荷為?的粒子在磁場中運動。(a)若磁場為均勻，即?(?)=?0?̂，其中?0為一定值。當t0時，粒子的初速?0等於?⊥,