高数极限经典60题分步骤详解

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1、高数极限经典60题分步骤详解1.求数列极限本题求解极限的关键是运用三角函数和差化积公式，将算式进行转化，进而求出极限，过程如下：＝＝＝＝0这是因为，当时，，而是有界函数，有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小，所以原式极限为0。2.令=，求数列极限解：＝＝1所以，=1]＝11.求数列极限，其中且。解：令＝，将等式两边同时乘以q，得到＝将以上两式相减，可得（1－q）·＝上面的算式两边同时除以1－q，得到＝当且，（注：证明附后），，＝-＝即＝附注：关于的证明若且，当时，。但如何证明呢？对于这个问题，现予以解答。首先，对算式进行变形，得到=变形后，计算表达式似乎变成了型未

2、定式。但是此处应注意，本题中自然数n为非连续变量，无法运用洛必达法则求极限。但我们可以构造出一个辅助函数，并且求证＝0（且），从而证明＝0。具体过程如下：将函数进行恒等变形，得到＝且，。可知，当时，.即为型未定式。所以，应用洛必达法则，得到＝＝＝0.因此可知（且）.1.求数列限解：将计算表达式变形，得到＝＝＝（）所以＝31.求数列限解：因为＝＝所以，＝观察上面算式中*（乘）号的两侧，正好互为倒数，因此可知本题的极限为＝＝本题有两种解法，其中：解法（一）：由于原式的分子分母均为无穷大，求极限的关键，就是要比较分子分母中的最高次方的系数。显然可知，本题中最高为2次方

3、。分子项的系数为＝385，分母项的系数为110，所以，本题所求的极限为：解法（二）：本题属于型未定式，可直接运用洛必达法则求极限，具体求解过程此处不再赘述。解：本题求极限可分为如下几个步骤：(一)令，将原式变形：原式＝(二)将变形后算式的分子分母同时乘以（注意：原式的分母虽然没有写出，显然就是1），得到原式＝＝(三)将上面最右侧算式的分子分母同时除以，可得原式＝＝＝＝3解：本题的讨论分两种情况：(一)当时，将分子分母同时乘以，得到原式＝将上面算式的分子分母同时除以,可得原式＝＝(一)当时，令，则原式＝＝＝＝＝-39.求极限解：令，，则原式＝＝＝＝（注意：当时，）

4、＝解：本题为型未定式，直接运用应用洛必达法则，得到原式＝＝-2解：将表达式的分子分母同时乘以，得到原式＝＝＝其中：～（）解：原式＝当时，～采用等价无穷小替换，得到原式＝＝。因此，当时，极限为+1；当时，极限为-1。解：将的分子分母同时乘以2，得到原式＝＝（注意：当时，）＝＝解：对于本题，可知：＝==＝……　　　　另外，对于数列的一般项＝＝因此可知，数列极限存在且等于。16．设，且，证明：存在，并求出此极限值。解：(一)证明极限存在：　　且　可知，数列单调且有上界，因此必然存在。(二)求解极限：设所求极限为，则＝＝（，根据极限的保号性，可知.）　　即　＝２　　=1

5、+因此所求极限为：=1+解：依题意，可知＝０，即数列严格单调增加；　（）　＝１+＝１+（１-），即数列有上界。因此可知，存在。解：令Ｓn＝＝＝（）（）（）…（）（）　＝２（）(一)将（）中的取值全部替换为３，得到Ｓn＝２（）２（）＝２（）(二)将（）中的取值全部替换为n,得到Ｓn＝２（）２（）＝２（）所以，根据“两边夹”定理，可知＝０解：本题分子分母均为无穷大，可运用洛必达法则求极限。过程如下：原式＝＝＝（注：将分子分母同时除以）＝解：仔细观察函数表达式的分子分母，可知分子中x的最高次数为，小于分母中x的次数，所以不难猜测，当具体可运用“两边夹”定理求解，过程如

6、下：令f=，由于，并且极限过程为，所以当x足够大时，f=＝（）；又由于f=＝（）所以，根据“两边夹”定理，所求极限为解：本题实际上就是求等比级数的极限值，该级数首项为，公比为，即0.9+0.09+0.009+…++…＝=＝１所以，答案为C.解：为求得原式的极限，作辅助函数，并且令，得到＝＝＝(洛必达法则)＝(当时，～，。)所以可知＝解：将原式的分子进行变形，得到＝～因此，所求极限为原式＝＝＝１解：本题运用洛必达法则即可，答案为-4，过程如下：原式＝＝-4解：可以直接运用洛必达法则求解，但运用等价无穷小替换更为便捷。这是因为当时，～，所以本题的极限为原式＝＝解：依

7、题意，可知＝＝＝（此时分子的极限已非“零”，不可继续求导！）＝（此时,分母中的次数n-3＝0，方能～成立。）＝1所以，得到n=3，A=-12解：本题的求解方法与前面第26题类似，两次运用洛必达法则，对分子分母分别求导，即可得到答案。过程如下：依题意，当时，～，所以＝1，即（以下应用洛必达法则）＝＝（注意：两次求导后，分子极限不为0，不可继续求导！）＝＝1因此，得到解：由于＝＝＝＝＝＝＝所以，由题设条件，可知/＝（）（）令＝u，当时，(一)＝＝(二)＝＝依题意，当时，～，所以，根据“两边夹”定理，对于上列算式（一）、（二），当且仅当时，极限存在且相等，并且此时的极

8、限0（若极限为0，则不满