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1、线性代数第一章行列式一、相关概念1.行列式——n阶行列式a11a12···a1na21a22···a2n············an1an2···ann是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积a1j1a2j2···anjn的代数和，这里j1j2···jn是1，2，···n的一个排列。当j1j2···jn是偶排列时，该项的前面带正号；当j1j2···jn是奇排列时，该项的前面带负号，即a11a12···a1na21a22···a2n············an1an2···ann=j1j2···jn(-1)τj1j2···jna1j1a2j2
2、···anjn(1.1)这里j1j2···jn表示对所有n阶排列求和。式(1.1)称为n阶行列式的完全展开式。2.逆序与逆序数——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。用τj1j2···jn表示排列j1j2···jn的逆序数。3.偶排列与奇排列——如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列。4.2阶与3阶行列式的展开——abcd=ad-bc，a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a2
3、1a32-a13a22a31-a12a21a33-a11a23a325.余子式与代数余子式——在n阶行列式a11a12···a1na21a22···a2n············an1an2···ann中划去aij所在的第i行，第j列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式a11···a1,j-1a1,j+1···a1n··················ai-1,1···ai-1,j-1ai-1,j+1···ai-1,nai+1,1···ai+1,j-1ai+1,j+1···ai+1,n···············
4、···an1···an,j-1an,j+1···ann称为aij的余子式，记为Mij；称(-1)i+jMij为aij的代数余子式，记为Aij，即Aij=(-1)i+jMij。6.伴随矩阵——由矩阵A的行列式
5、A
6、所有的代数余子式所构成的形如A11A21···An1A12A22···An2············A1nA2n···Ann，称为A的伴随矩阵，记作A*。二、行列式的性质1.经过转置行列式的值不变，即AT=A→行列式行的性质与列的性质是对等的。2.两行互换位置，行列式的值变号。特别地，两行相同(或两行成比例)，行列式的值为0.3.
7、某行如有公因子k，则可把k提出行列式记号外。4.如果行列式某行(或列)是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和：a1+b1a2+b2a3+b3c1c2c3d1d2d3=a1a2a3c1c2c3d1d2d3+b1b2b3c1c2c3d1d2d35.把某行的k倍加到另一行，行列式的值不变：a1a2a3b1b2b3c1c2c3=a1a2a3b1+ka1b2+ka2b3+ka3c1c2c36.代数余子式的性质——行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0三、行列式展开公式n阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素，与其对应的代数余子
8、式乘积之和，即A=ai1Ai1+ai2Ai2+···+ainAin=k=1naikAik
9、A
10、按i行展开的展开式A=a1jA1j+a2jA2j+···+anjAnj=k=1nakjAkj
11、A
12、按j列展开的展开式四、行列式的公式1.上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积；2.关于副对角线的n阶行列式的值A=(-1)n(n-1)2a1na2,n-1···an13.两个特殊的拉普拉斯展开式：如果A和B分别是m阶和n阶矩阵，则A*OB=AO*B=A·BOAB*=OAB*=(-1)mnA·B4.范德蒙行列式11···1x1x2···xnx1
13、2x22···xn2·········x1n-1x2n-1···xnn-1=1≤j≤i≤n(xi-xj)5.抽象n阶方阵行列式公式(矩阵)若A、B都是n阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若A可逆，λi(i=1,2…,n)是A的特征值：AT=A；kA=knA；
14、AB
15、=
16、A
17、
18、B
19、；A2=A2；A*=An-1A-1=1A；A=i=1nλi；若A~B，则A=B，且特征值相同。AA*=A*A=AE一般情况下：
20、A±B
21、≠
22、A
23、±
24、B
25、五、行列式的计算1.数字型行列式将行列式化为上下三角，再按行或列展开；化简技巧：①将每列(行)都加到同一列(行)，或者
26、将每列(行)ki倍都加到同一列(行)。②逐行(或逐列)相加③利用范德蒙公式或特殊的拉普拉斯展开式数学归纳法——①验证n=1时命题正确；假设n=k时命题正确；证明n=k+1时，命题正确。②验证n
