场论典型例题

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1、场论典型例题第一章矢量分析例题1、（基本矢量计算）已知两个矢量，，求（1）（2）（3）（4）（5）若和两矢量夹角为，求。解：（1）===（2）===（3）====10（4）===（5）根据内积的定义有：=，其中，为矢量的模。所以：其中在（2）中已经得到=10，而=，=因此==说明：此题可以用于掌握矢量运算法则。例题2、（矢性函数的极限）设，式中，为矢量，分别为，。求下列极限。（1）（2）解：（1）整理。=而==所以=+（2）=

2、

3、==说明：对矢性函数的极限，归结为对各坐标分量求极限，因此，需要温习高等数学

4、中微积分中关于“函数极限”的内容，特别是一些常用极限的求法。例题3、（求矢性函数的导数）设矢性函数为，，其中和都是常数，求、。解：由复合函数的求导公式有=．为数性函数求导，根据微积分中的知识，求得：=另外，因为矢性函数的导数归结为三个数性函数的求导，所以=因此，=．=====1说明：对矢性函数的求导的问题，转换成对各坐标分量求导，因此，需要温习高等数学中微积分中关于“函数导数”的内容，一些常用简单函数的导数应熟记。求导法则和复合函数求导法是常用的求解工具，要熟练运用。例题4（求矢性函数的微分）设，求，。解

5、：=====说明：矢性函数的微分和求导的方法类似，转换成对各坐标分量求微分，但是微分和求导的几何意义不同，详细区别参见教材《矢量分析与场论》7、8页。例题5（求矢性函数的积分）设，求解：====说明：本题是求得矢性函数的定积分，对矢性函数的定积分的问题，转换成对各坐标分量求定积分，需要复习高等数学中微积分中关于“函数积分”的内容，一些简单函数的积分应熟记。常用的积分方法有：“凑”微分法、换元积分、分部积分法等。在求矢性函数的不定积分时，一定不要忘记结果中要加上一个任意常矢量。第二章场论典型例题分析例题1、

6、（求数量场方向导数）求数量场在点处沿方向的方向导数。解：=，=，=在处有=，=，=另外，在处=则的方向余弦分别为：=，=，=所以，方向导数=++==例题2、（求数量场方向导数）求数量场在点处沿曲线朝增大方向的方向导数。解：将所给的曲线方程改写成矢量形式。==其导矢=就是曲线沿大一方的方向的切向矢量。当时，正好过点，将代入得，==其方向余弦为=，==又函数在的偏导数==，==，==于是，根据方向导数的定义，所求的方向导数为=++=++=说明：注意和例题1的区别，两题所给的关于方向的条件不同，例题1直接给出了

7、方向，例题2通过给定一曲线间接确定了方向，曲线上点处的切线才是所需要的方向。例题3、（求数量场梯度）数量场在处沿哪个方向的方向导数最大？解：求函数在的偏导数==，==，==梯度=根据梯度的定义和几何意义，沿梯度方向变化最快，所以，所求方向为。说明：本题是考查点是“方向导数和梯度的关系”。例题4、求散度。设，求。解：=++==0例题5、（求通量）设矢量场=。为球面，求矢量场从内穿出的通量。解：先求出的散度。==根据通量和散度的关系有：==。为求上面的三重积分，特别设。考察。过点作平面XY平行的平面，与球体截

8、的区域记为，则就是平面上的圆。于是==因为=为圆的面积，所以===类似地，可得==所以====说明：利用散度来求通量，问题变成一个三重积分的问题，请复习微积分中“多变量积分学”。例题6、（求旋度）已知=，求。解：==++==说明：本题的中行列式，并不是线形代数中行列式，而只是一种表示形式而已，但它的运算关系类似线形代数中行列式，请复习关于线形代数中行列式的相关内容。例题7、（求环量）已知矢量场，计算环量，其中是由，，，所构成的矩形回路。解：==+++=说明：这里用到微积分中的曲线积分。例题8、（有势场）设

9、矢量场，问是有势场吗？若是，求出任意势函数。解：因为，所以是有势场。有势场一定存在势函数，不妨设其中一个势函数为。令。则可以通过下面的公式求得：（参见教材63页）。这里，，特别取为原点。因此得：则因为任意势函数都和相差一个常数，所以任意势函数为，为常数。