数列的极限及运算法则

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1、数列的极限及其运算法则学习要求：1．理解数列极限的概念。正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．能运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力．3．掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列的极限4.掌握无穷等比数列各项的和公式.学习材料：一、基本知识1.数列极限的定义：一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限趋近于某个常数（即无限趋近于），那么就说数列以为极限，或者说是数列的极限．记作，读作“当趋向于无穷大时，的极限等于

2、”“”表示“趋向于无穷大”，即无限增大的意思有时也记作：当时，．理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数的无限增大，数列的项无限地趋近于某个常数”的意义有两个方面：一方面，数列的项趋近于是在无限过程中进行的，即随着的增大越来越接近于；另一方面，不是一般地趋近于，而是“无限”地趋近于，即随的增大而无限地趋近于0.2.几个重要极限：（1）（2）（是常数）（3）(为常数)，当时，；当或时，不存在。3.数列极限的运算法则:与函数极限的运算法则类似,如果那么　　　　特别：若为常数，则

3、推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况如，若，，有极限，则二、基本题目1．判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由（1）1，，，…，，…；（2）…，，…；（3）2.（1）若，则的取值范围是。（2）数列的前项和为，且，求的值。3．已知，求解：因为，所以4．求下列极限：（1）；（2）解：（1）；（2）5．求下列极限：(1).(2).(3).(4).解：(1).(2)(方法一).(方法二)∵，∴.分子、分母同除的最高次幂..第二个题目不能体现“分子、分母同除的最高次幂”这个方法的优势.这道题目就可以.使用上述方法就简

4、单多了.因为分母上是，有常数项，所以(2)的方法一就不能用了.(3).规律一：一般地，当分子与分母是关于的次数相同的多项式时，这个公式在时的极限是分子与分母中最高次项的系数之比.(4)分子、分母同除的最高次幂即，得..规律二：一般地，当分子、分母都是关于的多项式时，且分母的次数高于分子的次数时，当时，这个分式极限为0.6．求下列极限.(1).(2).(3).解：(1).(2).(3).说明：当无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存

5、在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在7．　求下列极限：（1）；（2）解：先求和再求极限（1）（2）8．公比绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和，当n无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和.设无穷等比数列的公比的绝对值小于1，则其各项的和为　（1）求无穷等比数列0.3，0.03，0.003，…各项的和.解：0.3，0.03，0.003，…的首项，公比所以s=0.3+0.03+0.003+…=（2）将无限循环小数化为分数.解：＝练习：如图，在边长为的等边中，圆为的内切圆，圆

6、与圆外切，且与相切，…，圆与圆外切，且与相切，如此无限继续下去，记圆的面积为.(Ⅰ)证明是等比数列；（Ⅱ）求的值.