排列与组合知识点

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1、排列与组合一、两个基本计数原理：（排列与组合的基础）1、分类加法计数原理：做一件事，完成它可以有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同方法.2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.二、排列与组合（1）排列定义:一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列；排列数用符号表示对排列定义的理

2、解：1、定义中包括两个基本内容：①取出元素②按照一定顺序。因此，排列要完成的“一件事情”是“取出个元素，再按顺序排列”2、相同的排列：元素完全相同，并且元素的排列顺序完全相同。若只有元素相同或部分相同，而排列顺序不相同，都是不同的排列。比如abc与acb是两个不同的排列描述排列的基本方法：树状图排列数公式：我们把正整数由1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示，即，并规定。全排列数公式可写成.由此，排列数公式可以写成阶乘式：（主要用于化简、证明等）排列应用题的主要解题方法有：直接法、间接法（排除法）、优先法、捆绑法、插空法、定序问题除法处理1、直接

3、法：把符合条件的排列数直接列式计算2、间接法（排除法）：先不考虑题目中的限制条件，求出所有的排列数，然后从中减去不符合条件的排列数，从而得到所求的排列数。因此间接法又称排除法。3、优先法：优先安排特殊元素或特殊位置。例题：由0,1,2,3,4,5共六个数字组成没有重复数字的六位数，其中小于50万又不是5个倍数的数有多少个？（分别用直接法、优先法、间接法）4、捆绑法：在实际排列问题中，某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看成一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排序，这种方法称为捆绑法，即“相邻元素捆绑法”例2：3名男生，4名女

4、生，全体站成一排，男生必须在一起，有几种排列方案？5、插空法：某些元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空当，也叫“不相邻元素插空法”例3：甲、乙等6人站成一排，要求甲和乙不相邻，有几种站法？6、定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列例4:7人站成一排，其中甲在乙前，乙在丙前（不一定相邻），则共有多少种不同的站法？（二）组合定义:一般地，从个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合；组合数用符号表示对组合定义的理解：（1）取出的个元素不考虑顺序，也

5、就是说元素没有位置要求，无序性是组合的特点.（2）只要两个组合中的元素完全相同，则不论元素的顺序如何，都是相同的组合.只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合排列与组合的区别：主要看交换元素的顺序对结果是否有影响，有影响就是“有序”，是排列问题；没影响就是“无序”，是组合问题。组合数公式：变式：组合数的两个性质1、①计算时，若，通常不直接计算，而改为计算，这样可以减少计算量②为了使这个公式在时也成立，我们规定，这只是一个规定，并没有实际的组合意义2、例：若，则的值为（）A.8B.7C.6D.不存在组合应用题主要解题方法：直接法、间

6、接法（排除法）、隔板法1、直接法、间接法（见上）例：在100个零件中有80个正品、20个次品，从中任意选2个进行检测，其中至少有一个次品的选法有多少种？2、隔板法：解决类似不定方程整数解的个数问题例：求方程的正整数解的组数变式：将组成篮球队的10个名额分配给7所学校，每校至少1个名额，问名额的分配方式有多少种？排列组合高考题一、选择题:1、(2011年高考全国卷理科7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）A.4种B.10种C.18种D.20种2、（2010年高考山东卷理科

7、8）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙不能排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A.36种B.42种C.48种D.78种3、（2010年高考全国卷I理科6）某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A.30种B.35种C.42种D.48种4、(2010年高考天津卷理科10)如图，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色。则不

8、同的涂色方法共有（）（）A.288种B.264种C.240种D.168种5、(2010年高考数学湖北卷理科8）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从