高中数学 解题方法介绍7 化归与转化的思想 苏教版

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1、第7讲化归与转化的思想在解题中的应用一、知识整合1.解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,通过观察、分析、类比、联想等思维过程,选择运用恰当的数学方法进行变换,将原问题转化为一个新问题(相对来说,对自己较熟悉的问题),通过新问题的求解,达到解决原问题的目的,这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。2.化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化。除极简单的数学问题外,每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲,解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想,解题的过程实际上就是一步步转化的过

2、程。数学中的转化比比皆是,如未知向已知转化,复杂问题向简单问题转化,新知识向旧知识的转化,命题之间的转化,数与形的转化,空间向平面的转化,高维向低维转化,多元向一元转化,高次向低次转化,超越式向代数式的转化,函数与方程的转化等,都是转化思想的体现。3.转化有等价转化和非等价转化。等价转化前后是充要条件,所以尽可能使转化具有等价性;在不得已的情况下,进行不等价转化,应附加限制条件,以保持等价性,或对所得结论进行必要的验证。4.化归与转化应遵循的基本原则:(1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。(2)简单化原则:

3、将复杂的问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据。(3)和谐化原则:化归问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式,或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。(4)直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。(5)正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,使问题获解。二、例题分析例1.某厂2001年生产利润逐月增加,且每月增加的利润相同,但由于厂方正在改造建设,元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等,随着投

4、入资金的逐月增加,且每月增加投入的百分率相同,到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同,问全年总利润m与全年总投入N的大小关系是()A.m>NB.m

5、直观地可以看出ai≥bi则>,即m>N。[点评]把一个原本是求和的问题,退化到各项的逐一比较大小,而一次函数、指数函数的图象又是每个学生所熟悉的。在对问题的化归过程中进一步挖掘了问题的内涵,通过对问题的反思、再加工后,使问题直观、形象,使解答更清新。例2.如果,三棱锥P—ABC中,已知PA⊥BC,PA=BC=l,PA,BC的公垂线ED=h.求证三棱锥P—ABC的体积.分析:如视P为顶点,△ABC为底面,则无论是S△ABC以及高h都不好求.如果观察图形,换个角度看问题,创造条件去应用三棱锥体积公式,则可走出困境.解:如图,连结EB,EC,由PA⊥BC,PA⊥ED

6、,ED∩BC=E,可得PA⊥面ECD.这样,截面ECD将原三棱锥切割成两个分别以ECD为底面,以PE、AE为高的小三棱锥,而它们的底面积相等,高相加等于PE+AE=PA=l,所以VP-ABC=VP-ECD+VA-ECD=S△ECD•AE+S△ECD•PE=S△ECD•PA=•BC·ED·PA=.评注:辅助截面ECD的添设使问题转化为已知问题迎刃而解.例3.在的展开式中x的系数为().(A)160(B)240(C)360(D)800分析与解:本题要求4用心爱心专心展开式中x的系数,而我们只学习过多项式乘法法则及二项展开式定理,因此,就要把对x系数的计算用上述两种

7、思路进行转化:思路1:直接运用多项式乘法法则和两个基本原理求解,则展开式是一个关于x的10次多项式,=(x2+3x+2)(x2+3x+2)(x2+3x+2)(x2+3x+2)(x2+3x+2),它的展开式中的一次项只能从5个括号中的一个中选取一次项3x并在其余四个括号中均选择常数项2相乘得到,故为·(3x)··24=5×3×16x=240x,所以应选(B).思路2利用二项式定理把三项式乘幂转化为二项式定理再进行计算,∵x2+3x+2=x2+(3x+2)=(x2+2)+3x=(x2+3x)+2=(x+1)(x+2)=(1+x)(2+x),∴这条思路下又有四种不同

8、的化归与转化方法.①如利用x2+3x+

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