学案7：利用放缩法证明数列不等式

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1、学案7：利用放缩法证明数列不等式姓名班级放缩法的注意问题以及解题策略：1.对于“和式”数列不等式，若能够直接求和，则考虑先求和，再证不等式；若不能或很难求和，则可考虑使用放缩法证明不等式。而对于“和式”数列不等式，放缩的最主要目的是通过放缩，把原数列变为可求和、易求和的数列.2、明确放缩的方向：是放人还是缩小。若要证明小于某值，则放人；若要证明大于某值，则缩小。3、放缩的项数：不一定对所有项进行放缩，冇时从第一项开始，或从第二项，或从第三项等开始。4.常见的放缩方法有：增加（减少）某些项：增大（减少）分子（分母）：增大（减小）被开方数；增人（减小）

2、底数（指数）:利用不等式的性质或重要不等式；利用函数的单调性等.5、放缩法的常见技巧及常见的放缩式:（1）^t>O,a+t>a,a-ty/n+>Jn-l,Jn+l-1>Jn-1,+1)>=n(3)丄-丄=丄<丄<丄=丄-丄QI)nn+1n(n+l)rrn(n-l)n-1n(4)2(血+1-fn)=i-j=<—j=-r==—j=<—j=72=2(乔-V/i-1)n-1(7)(8)若a,b,mwRJ贝ij纟〉」—,纟<吐少hb+mbbnn-12n+l2n<,>n+1n2n2n一11+十存…+*<1+（1-扣（是）+

3、…+（占弓（因为存占）+丄+丄+…+丄5丄+h+1n+2n+32nn+1n+」+・・•+—1n+1n+1或丄+丄+丄+…+丄丄+丄+•••+丄=丄」71+1zi+2n+32n2n2n2n2n21111111nr1H—/=■H—7=+…—-f=>—t=-H—t=-+…—f==—尸=yjH9a/2a/3y/nyjnQnJny/n应用基本不等式放缩：丄+口>2」丄•心=2〃+2n+2n2124k+冷k+1VTVT+Qk一1(11)舍掉(或加进)一些项，女U：an-a{2)途径1・放

4、缩为——，后用裂项，有些数列不一定从第一项就开始放缩等差X等差例1：(1)求证：1+丄+丄+•••+—<2(2)求证：丄+」+」+・・•+」

5、+l)V心+2)2途径5：放缩后可以累加求通项，再求和hn4-1例5：已知数列｛色｝满足：6/,=1,6/zl+1=(l+—K.求证：心°〉色23-尹途径6：—次根式的倒数放缩后裂项已知an=』2n_,求证:例6：综合运用(1)放缩后成等差数列，再求和练习1.已知各项均为正数的数列｛%｝的前〃项和为・22(1)求i-止：Sri<——；(2)求iiE：+H_(2)放缩后为差比数列，再求和练习2.已知数列｛色｝满足：=1,an+I=(1+4X(^=^*)-求证：a“+】>d”n3—啤22学案7：利用放缩法证明数列不等式参考答案姓名班级放缩法的注意问题

6、以及解题策略：1.对■于“和式”数列不等式，若能够直接求和，则考虑先求和，再证不等式；若不能或很难求和，则可考虑使用放缩法证明不等式。而对于“和式”数列不等式，放缩的最主要目的是通过放缩，把原数列变为可求和、易求和的数列.2、明确放缩的方向：是放人还是缩小。若要证明小于某值，则放人；若要证明大于某值，则缩小。3、放缩的项数：不一定対所有项进行放缩，有时从笫一项开始，或从第二项，或从笫三项等开始。4.常见的放缩方法有：增加（减少）某些项；增大（减少）分子（分母）；增人（减小）被开方数；增大（减小）底数（指数）；利用不等式的性质或重要不等式；利用函数的

7、单调性等.5、放缩法的常见技巧及常见的放缩式:（1）>O,a+t>a,a-ty/n+Vn-1,Jn+l-1>-1,+1)>=n(3)丄-丄=丄丄<丄二丄-丄QI)nn+ln(n+l)n(n-l)n-(4)n+1—fn)=/-j=<—j=1==—j=<—j=/=2(Vn—y/n—l)a/h+1+QnQny/n+y/n-l若agnM,则冬>亠,S丄〈口，匕〉旦bb+mbbn+1n2n2n一1(6)存存…+护1弋-扣GT+…+（占弓（因为存占）」+・・•+—1n+ln+l(7)—+—+丄+•・・+丄s丄+n+

8、n+2n+32nn+ln+或丄+丄+丄+..・+丄'丄+丄+•••+丄=丄显n+l;?+2n+32n2n2n2n2n2(