云南省保山曙光学校高二数学《正弦定理》教学设计

《云南省保山曙光学校高二数学《正弦定理》教学设计》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1.1.1　正弦定理一、内容及其解析内容：容是处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有密切的联系，与已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识也有着密切的联系．教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们

2、的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．二、目标及其解析目标：1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．解析：目标1就是让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中边与其对角的关系；引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理；目标2就是在教学中归纳出这两种基本问题，在练习中让学生总结方法和规律。三、

3、问题诊断分析1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.培养学生探索数学规律的思维能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．四、教学过程问题与题例问题1如右图，固定△ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动．思考：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而增大．问题2能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系．如右图，在Rt△ABC中，设BC=A

4、,AC=B,AB=C,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有=sinA，=sinB，又sinC=1=,则.从而在直角三角形ABC中，.问题3那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如右图，当△ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=AsinB=BsinA,则，同理，可得-6-用心爱心专心.从而.（当△ABC是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.问题4是否可以用其他方法证明这

5、一等式？可以作△ABC的外接圆，在△ABC中,令BC=A,AC=B,AB=C,根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，来证明这一关系．很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题，我们一起来看下面的证法.在△ABC中,已知BC=A,AC=B,AB=C,作△ABC的外接圆,O为圆心,连结BO并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到∠BAB′=90°，∠C=∠B′，∴sinC=sinB′=.∴.同理,可得.∴.这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式.

6、点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识,将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证,此证法在巩固平面几何知识的同时,易于被学生理解和接受,并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路,又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫.问题5接下来,我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出,定理反映的是三角形的边角关系,而在向量知识中,哪一知识点体现边角关系呢?向量的数量积的定义式A·B=

7、A

8、

9、B

10、Cosθ,其中θ为两向量的夹角.回答得很好,但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关

11、系,这两者之间能否转化呢?可以通过三角函数的诱导公式sinθ=Cos(90°-θ)进行转化.这一转化产生了新角90°-θ,这就为辅助向量j的添加提供了线索,为方便进一步的运算,辅助向量选取了单位向量j,而j垂直于三角形一边,且与一边夹角出现了90°-θ这一形式,这是作辅助向量j垂直于三角形一边的原因.在向量方法证明过程中,构造向量是基础,并由向量的加法原则可得而添加垂直于的单位向量j是关键,为了产生j与、、的数量积,而在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,也就在情理之中了.归纳：下面,大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程,并注意

12、总结在证明过程中所用到的向量知识点.