【鼎尖教案】人教版高中数学必修系列：9.9棱柱与棱锥(第八课时)

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1、棱锥（四）●教学目标（一）教学知识点1.三棱锥顶点在底面射影的位置问题.2.“三棱锥顶点可以任意改变”这一性质在解题中的应用.3.以多面体为载体的综合问题的解决.（二）能力训练要求1.使学生掌握三棱锥顶点在底面射影位置的各种问题.2.使学生把“三棱锥的顶点可以任意改变”这一性质灵活地应用到各种具体问题中.3.使学生不断提高分析、解决综合问题的能力.（三）德育渗透目标1.培养学生用联系的观点分析解决各种问题.2.帮助学生认识事物与事物可以在一定条件下互相转化的辩证唯物主义观点.●教学重点培养学生解完一题后作再思考

2、的习惯.●教学难点提高学生对综合问题的分析解决能力.●教学方法学导式在关于三棱锥顶点在底面射影的位置问题的教学时，各举一例分析解答之后，教师作变式提问并启发学生作再思考.在对“三棱锥顶点可以任意改变”这一性质学习讨论时，要帮助学生真正理解这一性质的内容，通过例题分析启发学生思考怎样将其灵活地应用到问题的解决中.分析多面体综合问题时，通过具体例子启发学生怎样将旧知识重新组合去解决新问题，从而变未知为已知，达到准确、快速的解题效果.●教具准备投影片四张.第一张：本课时教案例1（记作9.8.4A)第二张：本课时教案例

3、2（记作9.8.4B)第三张：本课时教案例3（记作9.8.4C)第四张：本课时教案例4（记作9.8.4D)●教学过程Ⅰ.三棱锥顶点在底面射影的位置问题［师］三棱锥是最简单的多面体，熟练掌握三棱锥的有关知识与结论，是学好立体几何的重要环节.下面我们学习三棱锥顶点在底面射影的位置问题.（打出投影片9.8.4A,读题）［例1］（1）如果三棱锥的三条侧棱相等，那么顶点在底面上的射影位置如何？（2）如果三棱锥的三个侧面与底面所成的二面角相等，那么顶点在底面上的射影位置如何？（3）如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，那么顶点在

4、底面上的射影位置如何？（学生思考并证明，教师巡视、查看，大部分学生能证明如下）（1）解：如图所示，三棱锥P—ABC中，PA=PB=PC，P在底面上的射影为O，连结PO、OA、OB、OC，则PO⊥面ABC.5网站：http://www.zbjy.cn论坛：http://bbs.zbjy.cn版权所有@中报教育网∵PA=PB=PC（斜线相等），∴AO=BO=CO（射影相等）.∴O点为△ABC的外心.（板书）（2）解：如图所示，在三棱锥P—ABC中，三侧面PAB、PAC、PBC与底面所成的角都相等.P点在底面上的射影

5、为O，连结PO，则PO⊥平面ABC.在底面中过点O作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D、E、F，连结PD、PE、PF.由三垂线定理可得PD⊥AB、PE⊥BC，PF⊥AC.∴∠PDO、∠PEO、∠PFO分别为二面角P—AB—C、P—BC—A、P—AC—B的平面角.又∵∠PDO=∠PEO=∠PFO,PO=PO=PO,∴Rt△PDO≌Rt△PEO≌Rt△PFO.∴OD=OE=OF,∴O为△ABC的内心.（3）解：如图所示，三棱锥P—ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，点O为P在底面ABC上的射影，

6、连结PO、AO、BO.∵PA⊥PB，PA⊥PC，且PB∩PC=P，∴PA⊥平面PBC.∴PA⊥BC.又PO⊥平面ABC,由三垂线定理的逆定理,知AO⊥BC.同理，得BO⊥AC.∴O点是△ABC的垂心.教师作进一步提问：1.任意一个三棱锥的顶点在底面上的射影一定在底面三角形的内部吗？上述例1的（2）题目给的严密吗？2.你能尝试着构造一些与上述例1（1）（2）（3）题的条件不同、结论相同的命题吗？5网站：http://www.zbjy.cn论坛：http://bbs.zbjy.cn版权所有@中报教育网（学生讨论完成

7、以上题目）问题1的讨论，大部分学生意识到了“任意一个三棱锥的顶点在底面上的射影可能在底面三角形的内部、外部或底面三角形的一边上”,进而对于例1（2）题需加“顶点在底面上的射影在底面三角形内部”这一条件问题2的讨论，学生可能会给出以下命题：如果三棱锥的侧棱与底面所成的角相等，那么顶点在底面上的射影一定是底面三角形的外心.如果三棱锥的顶点到底面各边的距离相等，且顶点在底面上的射影在底面三角形的内部，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的内心.如果三棱锥有两组对棱垂直，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心.（教学

8、中应积极引导学生，尽可能多地构造出新的命题）Ⅱ.“三棱锥的顶点可以任意改变”的应用［师］由于三棱锥的顶点可以任意改变，因此三棱锥的每一个面都可以作为底面.这一性质常常给我们求三棱锥的体积带来极大的灵活性.下面体会一例.（打出投影片9.8.4B,读题）［例2］已知正方体ABCD—A1B1C1D1棱长为a,求点D1到截面C1BD的距离.［师］点D1到截面C1BD的距离就是三棱锥D1—BC1