2020高考文科数学（人教版）一轮复习作业手册 第17讲　导数在函数中的应用——极值与最值 含解析

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1、第17讲　导数在函数中的应用——极值与最值1．已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于(A)A．2B．1C．－1D．－2　因为y′＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，所以当－10；当x>1时，y′<0，所以x＝1时，y有极大值2，所以b＝1，c＝2，又因为a，b，c，d成等比数列，所以ad＝bc＝2.2．函数f(x)＝在[0,1]上的最大值为(B)A．0B.C．eD.　因为f′(x)＝＝≥0在[0,1]上恒成立，所以f(x)在[0,1]上为增函数，所以当x＝1时，f(x)有最大值.3．(20

2、18·湖北孝感八校联盟)函数f(x)＝－x3＋4x－4在区间[0,3]上的最大值和最小值分别为(C)A．2，－B.，－C.，－4D．2，－1　f′(x)＝－x2＋4＝0，解得x＝2或x＝－2(舍去)．当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2,3)3f′(x)＋0－f(x)－4单调递增单调递减－1所以最大值为，最小值为－4.4．(2018·广州一模)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处的极值为10，则数对(a，b)为(C)A．(－3,3)B．(－11,4)C．(4，－11)D．(－3,3)或(4，－11)　f′(x

3、)＝3x2＋2ax＋b，由条件即解得或检验a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，此时f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值．故5．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝　32　.　由f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝±2，又f(3)＝－1，f(－3)＝17，f(2)＝－8，f(－2)＝24，所以M＝24，m＝－8，故M－m＝32.6．(2018·成都调研)函数f(x)＝x2－3x＋lnx在x＝　　处取得极大值．　因为f′(x)＝2x－3＋＝，x∈(0，)时，f′(x)>

4、0，x∈(，1)时，f′(x)<0，所以函数f(x)＝x2－3x＋lnx在x＝处取得极大值．7．(2018·北京卷)设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求a；(2)若f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．　(1)因为f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，所以f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex，f′(2)＝(2a－1)e2.由题设知f′(2)＝0，即(2a－1)e2＝0，解得a＝.(2)由(1)得f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex＝(ax－

5、1)(x－1)ex.若a>1，则当x∈，1时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在x＝1处取得极小值．若a≤1，则当x∈(0,1)时，ax－1≤x－1<0，所以f′(x)>0.所以1不是f(x)的极小值点．综上可知，a的取值范围是(1，＋∞)．8．(2018·河南模拟)已知函数f(x)＝a－x＋xex，若存在x0>－1，使得f(x0)≤0，则实数a的取值范围为(B)A．[0，＋∞)B．(－∞，0]C．[1，＋∞)D．(－∞，1]　由f(x)≤0，得a≤x－xex，令h(x)＝x－xex(x>－1)，h′(x)＝1－(1＋x)ex，

6、令g(x)＝h′(x)，g′(x)＝－(x＋2)ex<0，所以h′(x)在(－1，＋∞)内递减，而h′(0)＝0，所以h(x)在(－1,0)内递增，在(0，＋∞)内递减，所以h(x)的最大值为h(0)＝0.故a≤0.9．(2018·天津红桥区模拟)已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值为　－13　.　因为f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，所以f′(2)＝0，又f′(x)＝－3x2＋2ax，由f′(2)＝－12＋4a＝0，所以a＝3.所以f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝

7、－3x2＋6x.当m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值为f(x)的最小值与f′(x)的最小值的和．由f′(x)＝0得x＝0或x＝2(舍去)，所以f(x)在[－1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝－4.因为f′(x)＝－3(x－1)2＋3，又f′(1)＝3，f′(－1)＝－9，所以f′(x)min＝－9.所以f(m)＋f′(n)的最小值为－13.10．(2017·北京卷)已知函数f(x)＝excosx－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间[0，]上的最大值和最

8、小值．　(1)因为f(x